Ре­ше­ние. а)  Пусть ис­ко­мое се­че­ние пе­ре­се­ка­ет вы­со­ту SO в точке P, а ребро SE  — в точке M. Пусть точка M  — се­ре­ди­на AC. Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник BSE. По­сколь­ку угол SBE  =  60°, то тре­уголь­ник BSE рав­но­сто­рон­ний. Имеем:

от­ку­да По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка OSE и се­ку­щей MPH по­лу­чим:

Вы­ра­зим HE:

от­ку­да зна­чит, пря­мая MH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой HE. Тогда плос­кость ACH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой SE, по­сколь­ку пря­мая AC тоже пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой SE по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах.

б)  Пусть се­че­ние про­хо­дит через точку R на пря­мой SF и через точку T на пря­мой SD. За­ме­тим, что точка P лежит в плос­ко­стях ACH и CSF, зна­чит, точка P при­над­ле­жит пря­мой CR. Ана­ло­гич­но точка P при­над­ле­жит пря­мой AT. По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка SFO и се­ку­щей CR имеем:

Ана­ло­гич­но от­ку­да

Пусть пря­мая RT пе­ре­се­ка­ет пря­мую MH в точке K. Имеем:

от­ку­да на­хо­дим:

Пло­щадь се­че­ния ACTHR равна

Ответ: б)