РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 670351 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 477

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $0,5 синус в квадрате 6x минус синус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 3x правая круглая скобка = 0.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие интервалу $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$0,5 синус в квадрате 6x минус синус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 3x правая круглая скобка = 0 равносильно 2 синус в квадрате 3x косинус в квадрате 3x минус косинус в квадрате 3x = 0 равносильно левая круглая скобка 2 синус в квадрате 3x минус 1 правая круглая скобка косинус в квадрате 3x = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус в квадрате 3x = 0 синус в квадрате 3x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус 3x = 0, синус 3x= \pm дробь: числитель: корень из 2 }2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 3x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, 3x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k}2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: {, знаменатель: конец дроби pi k, знаменатель: 6 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$

б)  Отберем корни при помощи двойных неравенств:

$0 меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби меньше дробь: числитель: k, знаменатель: 3 конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше k меньше 1 \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k=0.$

Найденному значению k соответствует корень $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

$0 меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 6 конец дроби меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби меньше дробь: числитель: k, знаменатель: 6 конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше k меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k=0, k=1, k=2. конец совокупности .$

Найденным значениям k соответствуют корни $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ и $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 6 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

670351

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 6 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 477

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	670351	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 6 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$