Тип 19 № 669124 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
Магическим квадратом будем называть квадратную таблицу 
заполненную девятью натуральными однозначными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях была одинакова. Магический квадрат называется нормальным, если в его клетках по одному разу стоят все числа от 1 до 9.
а) В левом верхнем углу магического квадрата стоит число 8. Может ли в правом нижнем углу стоять число 3?
б) Сколько существует нормальных магических квадратов?
в) Сколько существует разных магических квадратов?
Решение. а) Обозначим элементы квадрата, как показано на рисунке,
а сумму в каждой линии за s. Тогда:
Кроме того, 
откуда 
что невозможно при натуральном e.
б) Сумма всех чисел в клетках квадрата равна 
откуда s = 15, e = 5. Можно перечислить все суммы трех различных чисел, равные 15. Это:
9 + 5 + 1,
9 + 4 + 2,
8 + 6 + 1,
8 + 5 + 2,
8 + 4 + 3,
7 + 6 + 2,
7 + 5 + 3,
6 + 5 + 4.
Этих сумм как раз восемь, значит, каждая из них является суммой на какой-нибудь линии. При этом угловые клетки входят в три суммы, поэтому в них стоят четные числа (только они упомянуты три раза). Поставить 8 можно в любую угловую клетку, напротив нее поставить 2, а потом двумя способами поставить остальные четные цифры по двум углам и уже однозначно заполнить всю таблицу. Получатся 8 вариантов, отличающихся друг от друга только поворотами и отражениями:
в) Выберем для начала произвольно a, c, e. Тогда последовательно получаем: 
и при любых a, c, e квадрат получается с одинаковыми суммами, но, возможно, не с однозначными числами. Нужно выполнение следующих условий:
Переберем варианты для e, отметив сразу, что если заменить каждую цифру в магическом квадрате ее дополнением до 10, то он останется магическим. Значит, вариантов с 
столько же, сколько с 
Эти условия сводятся к 
Условия 
и 
выполнятся автоматически, поскольку, например,
и
Условия 
задают на плоскости (a, c) квадрат с центром в точке (e, e). Сделав замену 
получим квадрат, заданный условиями 
Его целые точки образуют две вложенных друг в друга квадратных решетки (см. рис.).
При e = 1 решетка всего одна и содержит одну точку.
При e = 2 точек 4 + 1 = 5.
При e = 3 точек 9 + 4 = 13.
При e = 4 точек 16 + 9 = 25.
При e = 5 точек 25 + 16 = 41.
Поэтому общий ответ: 
Ответ: а) нет; б) 8; в) 129.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) нет; б) 8; в) 129.
669124
а) нет; б) 8; в) 129.
PDF-версии: