PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. Рассмотрим первое уравнение системы. При 
уравнение обращается в верное равенство. Рассмотрим случай 
Полученная система несовместна, значит, при 
решений нет. Рассмотрим случай 
В системе координат xOy графиком первого уравнения исходной системы является объединение прямой и дуги ACDB окружности с центром в точке 
радиусом 
лежащей правее прямой (выделено оранжевым).
Графиком второго уравнения системы является семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом 
Пусть прямая 
проходит через точку A при 
(выделено синим) и через точку B при 
(выделено фиолетовым). Заметим, что диаметр DC является отрезком прямой 
которая перпендикулярна прямой (произведение их угловых коэффициентов равно −1). Значит, прямая при некотором 
касается окружности в точке С (выделено красным), а при 
касается окружности в точке D (выделено зелёным). Прямая и график первого уравнения системы могут иметь одну, две или три общие точки, что соответствует одному, двум или трём различным решениям системы. Проанализировав график, определим количество решений системы:
— при 
одно решение;
— при два решения;
— при 
три решения;
— при 
два решения;
— при 
три решения;
— при два решения;
— при 
одно решение.
Вычислим значения a1, a2, a3 и a4, подставив соответственно координаты точек C, A, B и D в уравнение прямой 
Точка С: 
Точка A: 
Точка B: 
Точка D: 
Таким образом, исходная система имеет ровно два различных решения при: 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |