PDF-версии: 
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S на боковом ребре SE отмечена 
а) Докажите, что плоскость ACK делит ребра SF и SD пополам.
б) Найдите отношение, в котором плоскость АСK делит объем пирамиды SABCDEF.
Решение. а) Пусть прямая AC пересекает прямую BE в точке R, прямая FD пересекает прямую BE в точке T, плоскость ACK пересекает прямую SF в точке P, а прямую SD в точке Q, и пусть прямая RK пересекает прямую PQ в точке N (см. рис. 1).
Запишем теорему Менелая для треугольника TSE (см. рис. 2): 
Из треугольника ETD и правильного шестиугольника ABCDEF получаем, что 
а тогда 
и
Следовательно, точка N — середина отрезка ST. Заметим, что прямая PQ параллельна прямой AC, поскольку прямая AC параллельна плоскости SDF. Тогда
Итак, плоскость ACK пересекает ребра SB и SD в их серединах.
б) Заметим, что 
Кроме того, 
Разобьем многогранник SABCQKP на пирамиды SABC, SAPC, SPQC, SPQK. Тогда имеем:
Складывая, получим:
Таким образом, плоскость ACK делит объем пирамиды в отношении 13 : 17.
Ответ: б) 13 : 17.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |