РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Центр подготовки космонавтов готовит экипажи для работы на МКС в составе четырех человек каждый, причем у любых двух экипажей может быть не более одного общего члена и каждый космонавт может участвовать не более, чем в двух экипажах.

а)  Можно ли при этих условиях из 9 человек подготовить 3 экипажа?

б)  Можно ли при этих условиях из 9 человек подготовить 4 экипажа?

в)  Какое наименьшее количество человек необходимо для подготовки 10 экипажей?

Решение. Будем обозначать космонавтов номерами.

а)  Да, например, сделать экипажи 1234, 1567, 2589.

б)  Нет. Рассмотрим два экипажа с общим членом (ясно, что такие есть). Обозначим их общего космонавта номером  1, а остальных  — 234 и 567. Тогда в любой другой экипаж может входить максимум один космонавт из набора 1234 и набора 567. Значит, остальные два в обоих экипажах  — космонавты 8 и 9, поэтому остальные два экипажа имеют двух общих членов, что противоречит условию.

в)  В десяти экипажах всего 40 человек, причем каждый посчитан максимум дважды, поэтому нельзя использовать менее $дробь: числитель: 40, знаменатель: 2 конец дроби = 20$ космонавтов. Для 20 можно построить пример. Разобьем их на два отряда по 10 и в каждом организуем 5 экипажей (то есть экипажи разных отрядов вообще не пересекаются между собой): 1234, 1567, 2589, 3680, 4790. Нетрудно видеть, что каждый космонавт входит ровно в два экипажа и для каждой пары экипажей одного отряда есть ровно один общий космонавт, этих пар как раз тоже 10.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  20.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	668801	а)  да; б)  нет; в)  20.

Ключ