РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 668797 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 473

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа, Иррациональные уравнения и неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата

Неравенства. Логарифмы и иррациональности

Решите неравенство: $логарифм по основанию x левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка минус 2 больше или равно корень из: начало аргумента: логарифм по основанию x в квадрате левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка плюс 4 логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 5x минус 3 конец дроби конец аргумента .$

Решение. При условиях $x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,$ $x\not=1,$ справедливо преобразование:

$4 логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 5x минус 3 конец дроби = 4 левая круглая скобка логарифм по основанию x x минус логарифм по основанию x левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = 4 левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию x левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Заменим переменную: $t= логарифм по основанию x левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка ,$ тогда исходное неравенство примет вид:

$t минус 2 больше или равно корень из: начало аргумента: t в квадрате минус 4t плюс 4 конец аргумента равносильно t минус 2 больше или равно |t минус 2|} равносильно t больше или равно 2.$

Вернемся к исходной переменной:

$логарифм по основанию x левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка больше или равно 2 равносильно логарифм по основанию x левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию x x в квадрате равносильно система выражений x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , x не равно 1, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5x минус 3 минус x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: x в квадрате минус 5x плюс 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , совокупность выражений x меньше или равно дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , 1 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , 1 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности .$ $логарифм по основанию x левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка больше или равно 2 равносильно логарифм по основанию x левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию x x в квадрате равносильно$
$равносильно система выражений x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , x не равно 1, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5x минус 3 минус x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: x в квадрате минус 5x плюс 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , совокупность выражений x меньше или равно дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , 1 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , 1 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности .$ $логарифм по основанию x левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка больше или равно 2 равносильно логарифм по основанию x левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию x x в квадрате равносильно$
$равносильно система выражений x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , x не равно 1, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5x минус 3 минус x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: x в квадрате минус 5x плюс 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , совокупность выражений x меньше или равно дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , 1 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , 1 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности .$

Выше мы воспользовались тем, что

$дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби меньше дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно 6 меньше 25 минус 5 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента равносильно 5 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента меньше 19 равносильно 25 умножить на 13 меньше 361 равносильно 325 меньше 261.$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

668797

$левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 473

Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	668797	$левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$