Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что AO  =  1, по­это­му в пря­мо­уголь­ном и рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке AOA₁ имеем: A₁O  =  1, и по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Пусть плос­кость пе­ре­се­ка­ет ребро BB₁ в точке K, ребро DD₁ в точке M и ребро CC₁ в точке  L со­от­вет­ствен­но. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ков DOA₁ и BOA₁ по­лу­ча­ем

Тогда A₁M  — вы­со­та в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке A₁D₁D, от­ку­да За­ме­тим, что ML  — вы­со­та па­рал­ле­ло­грам­ма DD₁C₁C, зна­чит, ML  =  A₁M  =  1. Кроме того, от­ку­да то есть A₁KLM  — ромб с углом 90°, и, сле­до­ва­тель­но, A₁KLM  — квад­рат.

б)  В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке DD₁C от­ре­зок ML яв­ля­ет­ся се­ре­дин­ным пер­пен­ди­ку­ля­ром, зна­чит, точка L сов­па­да­ет с точ­кой C.

Разо­бьем мно­го­гран­ник A₁KMCC₁B₁D₁ на три пи­ра­ми­ды, тогда по­лу­чим:

Сло­жим по­лу­чен­ные объ­е­мы:

Итак,

то есть плос­кость делит объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да по­по­лам или в от­но­ше­нии 1 : 1.

Ответ: 1 : 1.