РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 667676 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 470

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на тангенс или котангенс, Область определения уравнения

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 2 x минус 3 косинус в квадрате x = косинус x умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Уравнение определено при $косинус x меньше 0.$ При этом условии справедливо тождество $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка = минус косинус x,$ откуда получаем:

$корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 2 x минус 3 косинус в квадрате x = минус косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x косинус x = косинус в квадрате x \underset косинус x не равно 0 \mathop равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x = косинус x равносильно$
$равносильно \ctg x = корень из 3 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, \underset косинус x меньше 0 \mathop равносильно x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 2 x минус 3 косинус в квадрате x = минус косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x косинус x = косинус в квадрате x \underset косинус x не равно 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x = косинус x равносильно \ctg x = корень из 3 равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, \underset косинус x меньше 0 \mathop равносильно x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 2 x минус 3 косинус в квадрате x = минус косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x косинус x = косинус в квадрате x \underset косинус x не равно 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x = косинус x равносильно$
$равносильно \ctg x = корень из 3 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, \underset косинус x меньше 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 2 x минус 3 косинус в квадрате x = минус косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x косинус x = косинус в квадрате x \underset косинус x не равно 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x = косинус x равносильно$
$равносильно \ctg x = корень из 3 равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, \underset косинус x меньше 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

$минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби равносильно совокупность выражений k = минус 1, k = минус 2. конец совокупности .$ $минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби равносильно совокупность выражений k = минус 1, k = минус 2. конец совокупности .$ $минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений k = минус 1, k = минус 2. конец совокупности .$

Найденным значениям k соответствуют корни $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: a)   $левая фигурная скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

667676

a)   $левая фигурная скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 470

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	667676	a)   $левая фигурная скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$