PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на ребрах AB, A1B1 и B1C1 отмечены точки K, L и M соответственно так, что KLMC — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
а) Докажите, что точка M — середина ребра B1C1.
б) Найдите угол между плоскостями KLM и ABC, если площадь трапеции KLMC равна 6.
Решение. а) Заметим, что так как по условию прямые LM, KC и BC, B1C1 параллельны, то углы LMB1 и KCB — равны. Таким образом, прямоугольные треугольники LMB1 и KCB — подобны. При этом,
следовательно, точка M — середина ребра B1C1.
б) Пусть прямая LP — высота трапеции KLMC, точка Q — проекция точки L. Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, отрезок PQ перпендикулярен отрезку KC. Имеем:
Проекции равных отрезков на параллельные плоскости равны, следовательно, KQ = MC1. Заметим, что
Таким образом, треугольник KBC — равнобедренный. Прямоугольные треугольники KBC и KPQ — подобны по общему углу, следовательно, треугольник KPQ — равнобедренный, PQ = KP = 1. Заметим, что угол LPQ является линейным углом угла между плоскостями KLM и ABC, 
следовательно, 
Ответ: б) 60°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |