РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 661771 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 05.07.2024. Основная волна, резервный день. Дальний Восток

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $дробь: числитель: 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 2 умножить на 4 в степени x , знаменатель: 3 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени x умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1.$

Решение. Заметим, что $3 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка =3 умножить на 9 в степени x ,$ а $3 в степени x умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =2 умножить на 6 в степени x ,$ и разделим числитель и знаменатель дроби на выражение $4 в степени x ,$ отличное от нуля при всех х:

$дробь: числитель: 6 умножить на левая круглая скобка \dfrac94 правая круглая скобка в степени x минус 7 умножить на левая круглая скобка \dfrac32 правая круглая скобка в степени x плюс 2, знаменатель: 3 умножить на левая круглая скобка \dfrac94 правая круглая скобка в степени x минус 2 умножить на левая круглая скобка \dfrac32 правая круглая скобка в степени x конец дроби меньше или равно 1.$

Пусть $t= левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x ,$ тогда:

$дробь: числитель: 6t в квадрате минус 7t плюс 2, знаменатель: 3t в квадрате минус 2t конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: 3t в квадрате минус 5t плюс 2, знаменатель: 3t в квадрате минус 2t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка 3t минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно система выражений t не равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше t меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше t меньше или равно 1. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 6t в квадрате минус 7t плюс 2, знаменатель: 3t в квадрате минус 2t конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: 3t в квадрате минус 5t плюс 2, знаменатель: 3t в квадрате минус 2t конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка 3t минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно система выражений t не равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше t меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше t меньше или равно 1. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 6t в квадрате минус 7t плюс 2, знаменатель: 3t в квадрате минус 2t конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: 3t в квадрате минус 5t плюс 2, знаменатель: 3t в квадрате минус 2t конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка 3t минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений t не равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше t меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше t меньше или равно 1. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной, имеем:

$совокупность выражений 0 меньше левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x меньше или равно 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x меньше левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка меньше левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x меньше или равно левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени 0 конец совокупности . \underset дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби больше 1\mathop равносильно совокупность выражений x меньше минус 1, минус 1 меньше x меньше или равно 0. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1; 0 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: ЕГЭ по математике 05.07.2024. Основная волна, резервный день. Дальний Восток

Ключ