PDF-версии: 
i
Натуральное число 
называется свободным от квадратов, если оно не делится ни на один квадрат натурального числа, кроме 1. Составим две последовательности натуральных чисел: {an} и {bn}, где an наибольший делитель числа n, являющийся точным квадратом натурального числа, bn — наибольший свободный от квадратов делитель числа n. Обозначим через t(n) количество делителей числа n.
а) Может ли выполняться равенство 
б) Сколько натуральных чисел 
удовлетворяют равенству 
в) Какие натуральные числа удовлетворяют равенству 
Какое наибольшее натуральное число 
удовлетворяет неравенству 
то наибольший свободный от квадратов его делитель это 
а наибольший делитель-квадрат это число 
где 
при четном ki и 
при нечетном ki. Кроме того отметим, что количество делителей числа 
равно
то 
и равенство 
неверно. Если 
то 
то число n не является квадратом. 
невозможно и в этом случае.
то равенство не выполняется. Если же 
то запишем n в виде 
Если x имеет как минимум два делителя 
и 
то an p и an q — два делителя n, не являющиеся делителями an и 
Значит, x — простое число.
то n кратно n и 
при этом an им не кратно, поскольку 
и 
и 
и число 25. Остальные нечетные степени простых числе больше 100.
необходимо и достаточно, чтобы все простые множители входили в n в нечетной степени. Это так для 
Для него 
и 
поэтому 