РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 659590 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 466

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы, Введение замены, Метод интервалов, Выделение полного квадрата

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 плюс 12 x плюс 4 x в квадрате правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 x в квадрате плюс 23 x плюс 21 правая круглая скобка меньше или равно 4 .$

Решение. Преобразуем неравенство:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 плюс 12 x плюс 4 x в квадрате правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 x в квадрате плюс 23 x плюс 21 правая круглая скобка меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 4 равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка плюс 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 3.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 плюс 12 x плюс 4 x в квадрате правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 x в квадрате плюс 23 x плюс 21 правая круглая скобка меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка плюс 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка меньше или равно 4 равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 3.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 плюс 12 x плюс 4 x в квадрате правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 x в квадрате плюс 23 x плюс 21 правая круглая скобка меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка плюс 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 3.$

Пусть $t= логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка ,$ тогда

$2t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 3 равносильно дробь: числитель: 2t в квадрате минус 3t плюс 1, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно t меньше или равно 1. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1. конец совокупности .$

Решим полученные неравенства методом рационализации. Область определения логарифма задается системой соотношений $3x плюс 7 больше 0,$ $2x плюс 3 больше 0$ $2x плюс 3 не равно 1.$ Решая эту систему, находим область определения: $X = левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ На множестве X для первого неравенства, используя свойство логарифма (открыть), получим:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше 0 \underset x принадлежит X \mathop равносильно левая круглая скобка 2x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 6 правая круглая скобка меньше 0 равносильно минус 2 меньше x меньше минус 1 \underset x принадлежит X \mathop равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше минус 1.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше 0 \underset x принадлежит X \mathop равносильно левая круглая скобка 2x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 6 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно минус 2 меньше x меньше минус 1 \underset x принадлежит X \mathop равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше минус 1.$

Двойное неравенство запишем в виде системы двух неравенств, умножим первое из них на 2 и для каждого из полученных неравенств, используя свойство логарифма (открыть), находим:

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 1, логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 конец системы . \underset x принадлежит X \mathop равносильно$
$\mathop равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка , логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец системы . \underset x принадлежит X \mathop равносильно система выражений левая круглая скобка 3 x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 0, левая круглая скобка 3 x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 минус левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 9x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0, 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 4x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0, левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . \underset x принадлежит X \mathop равносильно x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 1, логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 конец системы . \underset x принадлежит X \mathop равносильно$
$\mathop равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка , логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец системы . \underset x принадлежит X \mathop равносильно$
$\mathop равносильно система выражений левая круглая скобка 3 x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 0, левая круглая скобка 3 x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 минус левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 9x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0, 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 4x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0, левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . \underset x принадлежит X \mathop равносильно x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 1, логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 конец системы . \underset x принадлежит X \mathop равносильно$
$\mathop равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка , логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец системы . \underset x принадлежит X \mathop равносильно$
$\mathop равносильно система выражений левая круглая скобка 3 x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 0, левая круглая скобка 3 x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 минус левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 9x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0, 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 4x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0, левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . \underset x принадлежит X \mathop равносильно x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 1, логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 конец системы . \underset x принадлежит X \mathop равносильно$
$\mathop равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка , логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец системы . \underset x принадлежит X \mathop равносильно$
$\mathop равносильно система выражений левая круглая скобка 3 x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 0, левая круглая скобка 3 x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 минус левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 9x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0, 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 4x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0, левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . \underset x принадлежит X \mathop равносильно x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 1, логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 конец системы . \underset x принадлежит X \mathop равносильно$
$\mathop равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка , логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец системы . \underset x принадлежит X \mathop равносильно$
$\mathop равносильно система выражений левая круглая скобка 3 x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 0, левая круглая скобка 3 x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 минус левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 9x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0, 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 4x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0, левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . \underset x принадлежит X \mathop равносильно x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Объединяя найденные решения, получаем ответ.

Приведем другое решение совокупности неравенств.

Решим первое неравенство совокупности:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно система выражений дробь: числитель: 2x плюс 3 минус 1, знаменатель: 3x плюс 7 минус 1 конец дроби меньше 0 , 2x плюс 3 больше 0, 3x плюс 7 больше 0 конец системы . равносильно система выражений минус 2 меньше x меньше минус 1, x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше минус 1.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно система выражений дробь: числитель: 2x плюс 3 минус 1, знаменатель: 3x плюс 7 минус 1 конец дроби меньше 0 , 2x плюс 3 больше 0, 3x плюс 7 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений минус 2 меньше x меньше минус 1, x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше минус 1.$

Решим второе неравенство:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно система выражений дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 , 1 меньше или равно дробь: числитель: 2\lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 2x плюс 3 минус 3x минус 7, знаменатель: 3x плюс 7 минус 1 конец дроби меньше или равно 0 , дробь: числитель: левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 3x минус 7, знаменатель: 3x плюс 7 минус 1 конец дроби больше или равно 0 , 2x плюс 3 больше 0, 3x плюс 7 больше 0 конец системы . \underset x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби \mathop равносильно$
$\mathop равносильно система выражений минус x минус 4 меньше или равно 0, 4x в квадрате плюс 9x плюс 2 больше или равно 0, x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x больше или равно минус 4, совокупность выражений x меньше или равно минус 2, x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , конец системы . x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 , 1 меньше или равно дробь: числитель: 2\lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 2x плюс 3 минус 3x минус 7, знаменатель: 3x плюс 7 минус 1 конец дроби меньше или равно 0 , дробь: числитель: левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 3x минус 7, знаменатель: 3x плюс 7 минус 1 конец дроби больше или равно 0 , 2x плюс 3 больше 0, 3x плюс 7 больше 0 конец системы . \underset x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби \mathop равносильно$
$\mathop равносильно система выражений минус x минус 4 меньше или равно 0, 4x в квадрате плюс 9x плюс 2 больше или равно 0, x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x больше или равно минус 4, совокупность выражений x меньше или равно минус 2, x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , конец системы . x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно система выражений дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 , 1 меньше или равно дробь: числитель: 2\lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 2x плюс 3 минус 3x минус 7, знаменатель: 3x плюс 7 минус 1 конец дроби меньше или равно 0 , дробь: числитель: левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 3x минус 7, знаменатель: 3x плюс 7 минус 1 конец дроби больше или равно 0 , 2x плюс 3 больше 0, 3x плюс 7 больше 0 конец системы . \underset x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби \mathop равносильно система выражений минус x минус 4 меньше или равно 0, 4x в квадрате плюс 9x плюс 2 больше или равно 0, x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше или равно минус 4, совокупность выражений x меньше или равно минус 2, x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , конец системы . x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно система выражений дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 , 1 меньше или равно дробь: числитель: 2\lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 2x плюс 3 минус 3x минус 7, знаменатель: 3x плюс 7 минус 1 конец дроби меньше или равно 0 , дробь: числитель: левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 3x минус 7, знаменатель: 3x плюс 7 минус 1 конец дроби больше или равно 0 , 2x плюс 3 больше 0, 3x плюс 7 больше 0 конец системы . \underset x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби \mathop равносильно$
$\mathop равносильно система выражений минус x минус 4 меньше или равно 0, 4x в квадрате плюс 9x плюс 2 больше или равно 0, x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше или равно минус 4, совокупность выражений x меньше или равно минус 2, x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , конец системы . x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Объединяя результаты, получаем ответ.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

659590

$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 466

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	659590	$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$