PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через точки B1 и D1 проходят плоскости 
а) Докажите, что плоскости α и β перпендикулярны.
б) Найдите отношение объемов частей, на которые плоскости α и β делят параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
Решение. а) Пусть диагонали AC1 и A1C пересекаются в точке O. Отметим точку R — середину ребра CC1 и точку X — точку пересечения отрезков A1C1 и B1D1. Тогда отрезок XR — средняя линия в треугольнике A1C1, поэтому средняя линия XR делит отрезок OC1 (то есть диагональ AC1) в отношении 1 : 3. Пусть N — точка их пересечения, она принадлежит плоскости B1RD1, являющейся сечением прямоугольного параллелепипеда. Отметим точку M — середину отрезка AO. Продлим прямую XM до пересечения с ребром AA1, пусть в точке Q. Соединим точки Q и D1, пусть прямая QD1 пересекает прямую AD в точке S. Соединим точки Q и B1, пусть прямая QB1 пересекает прямую AB в точке T. Таким образом, четырехугольник STB1D1 — сечение прямоугольного параллелепипеда. Проведем в плоскости основания прямую A1F, перпендикулярную прямой B1D1, и прямую C1E, перпендикулярную прямой B1D1. Заметим, что
Аналогично 
Тогда
Поэтому угол REC1 равен 30°. Треугольники APM и C1XM подобны, а, значит,
Треугольники QAP и QA1X также подобны, а потому 
откуда 
Тогда
Следовательно, угол QFA1 равен 60°. Таким образом, прямые QF и RE перпендикулярны. По теореме о трех перпендикулярах прямая RE перпендикулярна прямой B1D1. Значит, прямая RE перпендикулярна плоскости STB1. Плоскость B1RD1 проходит через прямую, перпендикулярную плоскости STB1, поэтому плоскости B1RD1 и STB1 перпендикулярны. Что и требовалось доказать.
б) Находим объем пирамиды B1RD1C1:
следовательно,
Объем параллелепипеда равен 
Тогда объем оставшейся части
Таким образом, отношения частей, на которые плоскости α и β делят параллелепипед ABCDA1B1C1D1 есть:
Ответ: 9 : 26 : 73.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |