PDF-версии: 
Олег задумал трехзначное натуральное число n и посчитал сумму его цифр s.
а) Может ли 
б) Может ли 
в) Известно, что 
Найдите наименьшее возможное значение выражения 
Решение. а) Да, например, 
б) Заметим, что 
Если n кратно 9, то и s кратно 9, и тогда 
кратно 81. Если же n не кратно 9, то и s не кратно 9, и тогда не может быть кратно 33.
в) Заметим, что 
Осталось доказать, что числа 1787, 1788, 1789, 1790, 1791 не подходят. Заметим, что 
то есть 
Поэтому если указанное нам число имеет простой делитель, больший 17, то он входит в разложение n.
Число 1787 простое (достаточно проверить делимость на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). Рассмотрим 
но числа
не подходят. Число 1789 простое (достаточно проверить делимость на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17).
но числа
179,
не подходят. Осталось число 
но числа 199 и 
не подходят
Ответ: а) да; б) нет; в) 1792.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |