РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: $1 плюс 1 плюс 111 плюс 11 плюс 11 плюс 1=136.$

a)  Можно ли получить сумму 110, если n  =  56?

б)  Можно ли получить сумму 111, если n  =  56?

в)  Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если n  =  56?

Решение. a)  Пусть плюсы расставлены так, что суммируется шесть чисел 11 и 44 единицы. Тогда сумма равна $6 умножить на 11 плюс 44 умножить на 1=110.$

б)  Пусть в полученной сумме в разряде единиц в слагаемых стоит a₁ единиц, в разряде десятков  — a₂ единиц, в разряде сотен  — a₃ единиц и так далее. Тогда полученная сумма равна

$a_1 плюс 10a_2 плюс 100a_3 плюс \ldots=3 левая круглая скобка 3a_2 плюс 33a_3 плюс \ldots правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс \ldots правая круглая скобка =3A плюс 56.$ $a_1 плюс 10a_2 плюс 100a_3 плюс \ldots=$
$=3 левая круглая скобка 3a_2 плюс 33a_3 плюс \ldots правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс \ldots правая круглая скобка =3A плюс 56.$ $a_1 плюс 10a_2 плюс 100a_3 плюс \ldots=$
$=3 левая круглая скобка 3a_2 плюс 33a_3 плюс \ldots правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс \ldots правая круглая скобка =$
$=3A плюс 56.$

Таким образом, полученная сумма не делится на 3, а 111 делится на 3. Значит, невозможно получить сумму 111 при n  =  56.

в)  Если среди слагаемых в сумме присутствуют числа, бо́льшие 1111, то сумма будет больше 10000. Значит, каждое из слагаемых равно 1, 11, 111 или 1111. Пусть таких слагаемых a, b, c и d соответственно. Тогда $n = a плюс 2b плюс 3c плюс 4d=56,$ а сумма равна $a плюс 11b плюс 111c плюс 1111d.$

При $d больше или равно 9$ сумма больше 10000. Найдём наибольшую возможную сумму при $d меньше или равно 8.$ Заметим, что при замене четвёрки чисел $левая круглая скобка a; b; c; d правая круглая скобка$ на четвёрку $левая круглая скобка a минус 2; b плюс 1; c; d правая круглая скобка , левая круглая скобка a плюс 1; b минус 2; c плюс 1; d правая круглая скобка$ или $левая круглая скобка a; b плюс 1; c минус 2; d плюс 1 правая круглая скобка$ количество единиц останется неизменным, а сумма увеличится. Значит, если бы наибольшая сумма достигалась при $d меньше или равно 7,$ то выполнялись бы неравенства $0 меньше или равно a меньше или равно 1,$ $0 меньше или равно b меньше или равно 1,$ $0 меньше или равно c меньше или равно 1.$ Следовательно, $n = a плюс 2b плюс 3c плюс 4d меньше или равно 34,$ что противоречит условию.

Таким образом, наибольшая сумма достигается при d  =  8. При этом $0 меньше или равно a меньше или равно 1$ и $0 меньше или равно b меньше или равно 1.$ Поскольку

$c = дробь: числитель: 56 минус 4d минус 2b минус a, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 24 минус 2b минус a, знаменатель: 3 конец дроби ,$

получаем $7 меньше или равно c меньше или равно 8,$ то есть либо c  =  7, откуда $a плюс 2b = 3,$ и a  =  b  =  1; либо c  =  8, откуда $a плюс 2b=0,$ и a  =  b  =  0. В первом случае $a плюс 11b плюс 111c = 789,$ а во втором $a плюс 11b плюс 111c = 888.$ Следовательно, наибольшая сумма достигается при a  =  b  =  0, c  =  8 и d  =  8 и равна $0 плюс 0 умножить на 11 плюс 8 умножить на 111 плюс 8 умножить на 1111 = 9776.$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  9776.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	658890	а)  да; б)  нет; в)  9776.

Ключ