РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Диагонали BE и DF основания ABCDEF правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ пересекаются в точке P, а диагонали FE₁ и EF₁ боковой грани EFF₁E₁ пересекаются в точке Q.

а)  Докажите, что прямая QP параллельна плоскости CB₁E₁.

б)  Найдите расстояние между прямой QP и плоскостью CB₁E₁, если сторона основания призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ равна $2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,$ а ее высота равна $корень из 2 .$

Решение. ##a)  Диагональ BE является осью симметрии правильного шестиугольника ABCDEF, поэтому точка P  — середина отрезка FD. Так как четырёхугольник EFF₁E₁  — прямоугольник, точка Q середина отрезка FE₁, поэтому отрезок QP параллелен отрезку DE₁ как средняя линия треугольника FDE₁. Отрезки B₁E₁, C₁D₁ и CD параллельны, поэтому прямая CD лежит в плоскости CB₁E₁. Прямая QP параллельна прямой DE₁, лежащей в плоскости CB₁E₁, следовательно, прямая QP параллельна плоскости CB₁E₁.

Рис. 1

Рис. 2

б)  Прямая QP параллельна плоскости CB₁E₁, следовательно, расстояние от прямой до плоскости равно расстоянию от точки P до плоскости CB₁E₁. Поскольку прямая BE параллельна плоскости CB₁E₁, расстояние от точки P до плоскости CB₁E₁ равно расстоянию от точки O  — центра основания ABCDEF  — до плоскости CB₁E₁.

Рассмотрим плоскость осевого сечения призмы, проходящего через центры O и O₁ оснований и середину M ребра CD. Эта плоскость перпендикулярна прямой CD, а поэтому перпендикулярна и плоскости CB₁E₁.

Искомое расстояние равно длине высоты OH прямоугольного треугольника OO₁M, в котором $OM = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента умножить на корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби = корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента ,$ $OO_1 = корень из 2 ,$ $O_1M = 4 корень из 2 :$

$OH= дробь: числитель: OO_1 умножить на OM, знаменатель: O_1M конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: б)   $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

№ п/п	№ задания	Ответ
1	658885	б)   $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ключ