РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 658836 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Неравенства. Логарифмические неравенства, разные задачи

Решите неравенство: $левая круглая скобка логарифм по основанию 3 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка в квадрате плюс 22 логарифм по основанию 3 x плюс 24 меньше 11 логарифм по основанию 3 в квадрате x.$

Решение. Пусть $t= логарифм по основанию 3 x,$ тогда неравенство примет вид:

$левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате минус 11 левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t правая круглая скобка плюс 24 меньше 0 равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t минус 8 правая круглая скобка меньше 0 равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка меньше 0,$ $левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате минус 11 левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t правая круглая скобка плюс 24 меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t минус 8 правая круглая скобка меньше 0 равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка меньше 0,$ $левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате минус 11 левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t правая круглая скобка плюс 24 меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t минус 8 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка меньше 0,$

откуда $минус 2 меньше t меньше минус 1;$ $3 меньше t меньше 4.$

При $минус 2 меньше t меньше минус 1$ получим: $минус 2 меньше логарифм по основанию 3 x меньше минус 1,$ откуда $дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ При $3 меньше t меньше 4$ получим: $3 меньше логарифм по основанию 3 x меньше 4,$ откуда $27 меньше x меньше 81.$ Решение исходного неравенства: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $27 меньше x меньше 81.$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ;$ $левая круглая скобка 27; 81 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

658836

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ;$ $левая круглая скобка 27; 81 правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	658836	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ;$ $левая круглая скобка 27; 81 правая круглая скобка .$