PDF-версии: 
Диагонали BE и DF основания ABCDEF правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 пересекаются в точке P, а диагонали FE1 и EF1 боковой грани EFF1E1 пересекаются в точке Q.
а) Докажите, что прямая QP параллельна плоскости CB1E1.
б) Найдите расстояние между прямой QP и плоскостью CB1E1, если сторона основания призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равна 
а ее высота равна 4.
Решение. a) Диагональ BE является осью симметрии правильного шестиугольника ABCDEF, поэтому точка P — середина отрезка FD. Так как четырёхугольник EFF1E1 — прямоугольник, точка Q — середина отрезка FE1, поэтому отрезок QP параллелен отрезку DE1 как средняя линия треугольника FDE1. Отрезки B1E1, C1D1 и CD параллельны, поэтому прямая CD лежит в плоскости CB1E1. Прямая QP параллельна прямой DE1, лежащей в плоскости CB1E1, следовательно, прямая QP параллельна плоскости CB1E1.
б) Прямая QP параллельна плоскости CB1E1, следовательно, расстояние от прямой до плоскости равно расстоянию от точки P до плоскости CB1E1. Поскольку прямая BE параллельна плоскости CB1E1, расстояние от точки P до плоскости CB1E1 равно расстоянию от точки O — центра основания ABCDEF — до плоскости CB1E1.
Рассмотрим плоскость осевого сечения призмы, проходящего через центры O и O1 оснований и середину M ребра CD. Эта плоскость перпендикулярна прямой CD, а поэтому перпендикулярна и плоскости CB1E1.
Искомое расстояние равно длине высоты OH прямоугольного треугольника OO1M, в котором 
OO1 = 4, O1M = 5:
Ответ: б) 2,4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |