РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 658422 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 463

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Область определения уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $2 логарифм по основанию 4 в квадрате синус x минус x в квадрате плюс 21 = левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 25 минус x в квадрате конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс 7 логарифм по основанию 4 синус x.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .$

Решение. При $a больше или равно 0$ справедливо тождество $корень из a в квадрате = a.$ Поэтому при условии $25 минус x в квадрате больше или равно 0,$ то есть если $минус 5 меньше или равно x меньше или равно 5,$ уравнение принимает вид

$2 логарифм по основанию 4 в квадрате синус x минус x в квадрате плюс 21 = 25 минус x в квадрате плюс 7 логарифм по основанию 4 синус x,$

тогда

$2 логарифм по основанию 4 в квадрате левая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус 7 логарифм по основанию 4 синус x минус 4 = 0 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 4 синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию 4 синус x = 4 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = 256 конец совокупности . \underset | синус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 6 плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 логарифм по основанию 4 в квадрате левая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус 7 логарифм по основанию 4 синус x минус 4 = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 4 синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию 4 синус x = 4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = 256 конец совокупности . \underset | синус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 6 плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

В отрезок $минус 5 меньше или равно x меньше или равно 5$ попадают корни $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ (см. рис.).

б)  Из найденных корней на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка$ лежит число $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

658422

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 463

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	658422	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$