РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 657468 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 462

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции, Неравенства смешанного типа, Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы, Использование основного логарифмического тождества, Разложение на множители

Неравенства. Другие неравенства смешанного типа

Решите неравенство: $5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 8 x плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x плюс 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка 25 правая круглая скобка .$

Решение. Область определения неравенства задается условиями:

$x в квадрате плюс 3x плюс 2 больше 0,$

$3x в квадрате плюс 8x плюс 4 больше 0,$

$x плюс 1 больше 0,$

$x плюс 1 не равно 1.$

Заметим, что если $x плюс 1 больше 0,$ то

$x в квадрате плюс 3 x плюс 2 = левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше 0,$

$3x в квадрате плюс 8 x плюс 4 больше 0 равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 2 правая круглая скобка больше 0 \underset x больше минус 1 \mathop равносильно x больше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Таким образом, $минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x не равно 0.$

Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство $a в степени левая круглая скобка логарифм по основанию b c правая круглая скобка = c в степени левая круглая скобка логарифм по основанию b a правая круглая скобка ,$ получим:

$левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x плюс 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка 25 правая круглая скобка = 25 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Исходное неравенство равносильно следующим:

$5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 8 x плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 5 в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 8 x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x плюс 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 8 x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате .$ $5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 8 x плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 5 в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 8 x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x плюс 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 8 x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате .$

Решим полученное неравенство методом рационализации. На области определения логарифмов неравенства $логарифм по основанию a b больше логарифм по основанию a c$ и $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка больше 0$ равносильны. Отсюда получаем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 8 x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно система выражений x левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 8 x плюс 4 минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка больше или равно 0, минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений x левая круглая скобка x в степени 4 плюс 6x в кубе плюс 10x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка меньше или равно 0 , минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 , минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс 4x плюс 2 меньше или равно 0, минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x не равно 0 конец системы . равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше или равно минус 2 плюс корень из 2 .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 8 x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно система выражений x левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 8 x плюс 4 минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка больше или равно 0, минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x левая круглая скобка x в степени 4 плюс 6x в кубе плюс 10x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка меньше или равно 0 , минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 , минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате плюс 4x плюс 2 меньше или равно 0, минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x не равно 0 конец системы . равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше или равно минус 2 плюс корень из 2 .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 8 x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно система выражений x левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 8 x плюс 4 минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка больше или равно 0, минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x левая круглая скобка x в степени 4 плюс 6x в кубе плюс 10x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка меньше или равно 0 , минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 , минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате плюс 4x плюс 2 меньше или равно 0, минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x не равно 0 конец системы . равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше или равно минус 2 плюс корень из 2 .$

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; минус 2 плюс корень из 2 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

657468

$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; минус 2 плюс корень из 2 правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 462

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	657468	$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; минус 2 плюс корень из 2 правая квадратная скобка .$