РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 657298 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Расположение корней квадратного трехчлена

Методы алгебры: Введение замены

Задача с параметром. Расположение корней квадратного трехчлена

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$5 косинус 2x плюс 1 = 2 левая круглая скобка 3 минус 4 синус x минус a правая круглая скобка синус x$

имеет хотя бы один корень.

Решение. Применим формулу косинуса двойного угла, запишем исходное уравнение в виде

$синус в квадрате x плюс левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка синус x минус 3=0.$

Положим t  =  sinx, тогда исходное уравнение имеет хотя бы один корень, если уравнение $t в квадрате плюс левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка t минус 3=0$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1]. Графиком функции $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате плюс левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка t минус 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = минус 3.$

Cледовательно, уравнение $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =0$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1], либо (рис. 1) при условии $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0,$ то есть если $1 минус левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка минус 3 больше или равно 0,$ откуда $a больше или равно 5,$ либо (рис. 2) при условии $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка больше или равно 0,$ то есть если $1 плюс левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка минус 3 больше или равно 0,$ откуда $a меньше или равно 1.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

657298

$левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Расположение корней квадратного трехчлена

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	657298	$левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$