PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 17. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 7. Плоскость 
перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K.
а) Докажите, что плоскость содержит точку C.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью 
Решение. a) Пусть прямая BD пересекает плоскость в точке H (см. рис. 1), а SO — высота пирамиды SABCD. Поскольку пирамида SABCD правильная, центр квадрата ABCD совпадает с точкой O. Значит, прямая SO лежит в плоскости SBD (см. рис. 2). Следовательно, плоскость SBD перпендикулярна плоскости ABC. Получаем, что прямая KH, являющаяся прямой пересечения плоскостей SBD и 
перпендикулярна плоскости ABC и параллельна прямой SO. В треугольнике SOB имеем
Рассмотрим квадрат ABCD (см. рис. 3). Пусть прямые BD и CM пересекаются в точке H1. Треугольники MH1B и CH1D подобны по двум углам. Получаем
Таким образом, прямая CM делит отрезок BD в таком же отношении, что и плоскость значит, плоскость содержит точку C.
б) Из доказанного в пункте а) следует, что искомое сечение — треугольник CKM . В треугольнике SOB имеем
В прямоугольном треугольнике BCM имеем
Отрезок KH перпендикулярен плоскости ABC, а значит, и прямой CM. Следовательно, он является высотой треугольника СКМ. Площадь треугольника CKM равна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |