РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 656086 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Замена переменной, Разложение на множители

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $2 умножить на дробь: числитель: 125 в степени x минус 1, знаменатель: 5 в степени x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 12, знаменатель: 25 в степени x плюс 5 в степени x плюс 1 конец дроби меньше или равно 11.$

Решение. Запишем исходное неравенство в виде:

$2 умножить на дробь: числитель: 125 в степени x минус 1, знаменатель: 5 в степени x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 12, знаменатель: 25 в степени x плюс 5 в степени x плюс 1 конец дроби меньше или равно 11 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 5 в степени x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 25 в степени x плюс 5 в степени x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 5 в степени x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 12, знаменатель: 25 в степени x плюс 5 в степени x плюс 1 конец дроби меньше или равно 11 \underset x не равно 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 2 левая круглая скобка 25 в степени x плюс 5 в степени x плюс 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 12, знаменатель: 25 в степени x плюс 5 в степени x плюс 1 конец дроби меньше или равно 11 .$

Введем замену $t=25 в степени x плюс 5 в степени x плюс 1,$ $t больше 0.$ Имеем:

$2t плюс дробь: числитель: 12, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 11 равносильно 2t в квадрате минус 11t плюс 12 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка меньше или равно система выражений t больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , t меньше или равно 4. конец системы .$ $2t плюс дробь: числитель: 12, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 11 равносильно$
$равносильно 2t в квадрате минус 11t плюс 12 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка меньше или равно система выражений t больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , t меньше или равно 4. конец системы .$

Вернемся к исходной переменной. Решение неравенства $25 в степени x плюс 5 в степени x плюс 1 больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ :

$25 в степени x плюс 5 в степени x плюс 1 больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 левая круглая скобка 5 в степени x правая круглая скобка в квадрате плюс 2 умножить на 5 в степени x минус 1 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно 5 в степени x больше или равно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $25 в степени x плюс 5 в степени x плюс 1 больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 левая круглая скобка 5 в степени x правая круглая скобка в квадрате плюс 2 умножить на 5 в степени x минус 1 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно 5 в степени x больше или равно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $25 в степени x плюс 5 в степени x плюс 1 больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка 5 в степени x правая круглая скобка в квадрате плюс 2 умножить на 5 в степени x минус 1 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно 5 в степени x больше или равно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$

откуда $x больше или равно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение неравенства $25 в степени x плюс 5 в степени x плюс 1 меньше или равно 4$ :

$25 в степени x плюс 5 в степени x плюс 1 меньше или равно 4 равносильно левая круглая скобка 5 в степени x правая круглая скобка в квадрате плюс 5 в степени x минус 3 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 5 в степени x меньше или равно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $25 в степени x плюс 5 в степени x плюс 1 меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x правая круглая скобка в квадрате плюс 5 в степени x минус 3 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 5 в степени x меньше или равно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$

откуда $x меньше или равно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Учитывая условие $x не равно 0,$ получаем решение неравенства: $левая квадратная скобка логарифм по основанию 5 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0 ; логарифм по основанию 5 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка логарифм по основанию 5 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0 ; логарифм по основанию 5 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек $логарифм по основанию 5 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби$ и⁠/⁠или $логарифм по основанию 5 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби$ ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

656086

$левая квадратная скобка логарифм по основанию 5 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0 ; логарифм по основанию 5 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Замена переменной, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	656086	$левая квадратная скобка логарифм по основанию 5 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0 ; логарифм по основанию 5 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$