РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 655786 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 458

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа, Иррациональные неравенства, Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Метод интервалов, Замена переменной

Неравенства. Логарифмы и иррациональности

Решите неравенство: $корень из: начало аргумента: 7 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 конец аргумента левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 9 правая круглая скобка больше или равно 4 минус логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка .$

Решение. По смыслу задачи $x больше 2.$ Для таких значений переменной получаем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате минус 4, знаменатель: x плюс 2 конец дроби =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =1 минус логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате минус 4, знаменатель: x плюс 2 конец дроби =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =$
$=1 минус логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате минус 4, знаменатель: x плюс 2 конец дроби =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =$
$=1 минус логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка .$

Пусть $t= логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка ,$ тогда

$корень из: начало аргумента: 7t плюс 9 конец аргумента больше или равно 4 минус левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка равносильно корень из: начало аргумента: 7t плюс 9 конец аргумента больше или равно 3 плюс t равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений 3 плюс t меньше 0, 7t плюс 9 больше или равно 0, конец системы . система выражений 3 плюс t больше или равно 0, 7t плюс 9 больше или равно левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка в квадрате конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений 3 плюс t больше или равно 0, t в квадрате минус t меньше или равно 0 конец системы . равносильно 0 меньше или равно t меньше или равно 1.$ $корень из: начало аргумента: 7t плюс 9 конец аргумента больше или равно 4 минус левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка равносильно корень из: начало аргумента: 7t плюс 9 конец аргумента больше или равно 3 плюс t равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений 3 плюс t меньше 0, 7t плюс 9 больше или равно 0, конец системы . система выражений 3 плюс t больше или равно 0, 7t плюс 9 больше или равно левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка в квадрате конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений 3 плюс t больше или равно 0, t в квадрате минус t меньше или равно 0 конец системы . равносильно 0 меньше или равно t меньше или равно 1.$ $корень из: начало аргумента: 7t плюс 9 конец аргумента больше или равно 4 минус левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 7t плюс 9 конец аргумента больше или равно 3 плюс t равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений 3 плюс t меньше 0, 7t плюс 9 больше или равно 0, конец системы . система выражений 3 плюс t больше или равно 0, 7t плюс 9 больше или равно левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка в квадрате конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений 3 плюс t больше или равно 0, t в квадрате минус t меньше или равно 0 конец системы . равносильно 0 меньше или равно t меньше или равно 1.$

Вернёмся к исходной переменной:

$0 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0, логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: x плюс 2 минус 1, знаменатель: x в квадрате минус 4 минус 1 конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: x минус 2 минус 1, знаменатель: x в квадрате минус 4 минус 1 конец дроби больше или равно 0, x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x в квадрате минус 5 конец дроби больше или равно 0 , дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: x в квадрате минус 5 конец дроби больше или равно 0, x больше 2 конец системы . равносильно x больше или равно 3.$ $0 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0, логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: x плюс 2 минус 1, знаменатель: x в квадрате минус 4 минус 1 конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: x минус 2 минус 1, знаменатель: x в квадрате минус 4 минус 1 конец дроби больше или равно 0, x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x в квадрате минус 5 конец дроби больше или равно 0 , дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: x в квадрате минус 5 конец дроби больше или равно 0, x больше 2 конец системы . равносильно x больше или равно 3.$ $0 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0, логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: x плюс 2 минус 1, знаменатель: x в квадрате минус 4 минус 1 конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: x минус 2 минус 1, знаменатель: x в квадрате минус 4 минус 1 конец дроби больше или равно 0, x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x в квадрате минус 5 конец дроби больше или равно 0 , дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: x в квадрате минус 5 конец дроби больше или равно 0, x больше 2 конец системы . равносильно x больше или равно 3.$

Ответ: $левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

655786

$левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 458

Методы алгебры: Метод интервалов, Замена переменной

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	655786	$левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$