Ре­ше­ние. а)  Точки K, M, N и L лежат в одной плос­ко­сти. Если бы плос­кость KLMN была па­рал­лель­на пря­мой BD, то вы­пол­ня­лось бы со­от­но­ше­ние но из усло­вия сле­ду­ет, что Сле­до­ва­тель­но, пря­мая BD пе­ре­се­ка­ет плос­кость KLMN. Обо­зна­чим P точку их пе­ре­се­че­ния.

По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ков KLP и MNP по­лу­чим:

От­сю­да

тогда из ра­вен­ства на­хо­дим:

что дает Далее, по тео­ре­ме Ме­не­лая: от­ку­да

Из усло­вия сле­ду­ет, что по­это­му

Таким об­ра­зом, где Сле­до­ва­тель­но, зна­чит,

от­ку­да

б)  Из пунк­та а) по­лу­чим, что то есть Кроме того,

По тео­ре­ме Ме­не­лая

по­это­му Также по тео­ре­ме Ме­не­лая

что дает

Най­дем от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков DKPM и DABC:

Най­дем от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков PNBL и PDKM:

Най­дем от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков BNLMDK и PDKM:

Итак, плос­кость KLMN делит объем пи­ра­ми­ды ABCD в от­но­ше­нии 213 : 67.

Ответ: 213 : 67.