РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 654938 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Пусть $\overlineml$ обозначает двузначное число, равное $10 m плюс l,$ где m и l  — цифры, $m не равно q 0.$

a)  Существуют ли такие различные ненулевые цифры a, b, c и d, что $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=297?$

б)  Существуют ли такие различные ненулевые цифры a, b, c и d, что $\overlinea b умножить на \overlinec d минус \overlineb a умножить на \overlined c=990,$ если среди цифр a, b, c и d есть цифра 5?

в)  Какое наибольшее значение может принимать выражение $\overlinea b умножить на \overlinec d минус \overlineb a умножить на \overlined c,$ если цифры a, b, c и d различны и среди них есть цифры 4 и 5?

Решение. а)  Да. Действительно, поскольку

$\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc= левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10c плюс d правая круглая скобка минус левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10d плюс c правая круглая скобка =99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка ,$ $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=$
$= левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10c плюс d правая круглая скобка минус левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10d плюс c правая круглая скобка =99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка ,$ $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=$
$= левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10c плюс d правая круглая скобка минус левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10d плюс c правая круглая скобка =$
$=99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка ,$

нужно подобрать такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, чтобы $a c минус b d=3.$ Это верно, например, при a  =  1, b  =  2, c  =  9 и d  =  3.

б)  Докажем, что это невозможно. Имеем $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка .$

Значит, если $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=990,$ то $99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка =990=99 умножить на 10$ и $ac минус bd=10.$ Поскольку одна из цифр a, b, c и d равна 5, то одно из произведений ac или bd делится на 5, а значит, и другое произведение тоже должно делиться на 5. Это невозможно, так как в этом случае среди цифр a, b, c и d есть по крайней мере две цифры 5.

в)  Как показано выше, имеем $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlined c=99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка .$ Рассмотрим все возможные случаи, когда среди цифр a, b, c и d есть цифры 4 и 5. Если цифры 4 и 5  — это a и c, то $ac минус bd меньше или равно 4 умножить на 5 минус 1 умножить на 2=18.$ Если цифры 4 и 5  — это b и d, то $ac минус bd меньше или равно 8 умножить на 9 минус 4 умножить на 5=52.$ Если цифра 4  — это a или c, а цифра 5  — это b или d, то

$ac минус bd меньше или равно 4 умножить на 9 минус 5 умножить на 1=31.$

Если цифра 5  — это a или c, а цифра 4  — это b или d, то

$ac минус bd меньше или равно 5 умножить на 9 минус 4 умножить на 1=41.$

Значит, наибольшее возможное значение выражения $\overlineab умножить на \overlinec d минус \overlineba умножить на \overlinedc$ равно $99 умножить на 52=5148,$ оно достигается при a  =  8, b  =  4, c  =  9 и d  =  5.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)   $99 умножить на 52 = 5148.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в), и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б)	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да; б)  нет; в)   $99 умножить на 52 = 5148.$

654938

а)  да; б)  нет; в)   $99 умножить на 52 = 5148.$

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	654938	а)  да; б)  нет; в)   $99 умножить на 52 = 5148.$