РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 654700 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 455

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы, Метод интервалов, Выделение полного квадрата

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство:

Решение. Преобразуем знаменатель дроби, стоящей в правой части неравенства:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 5 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 14 плюс 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 5 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 28 плюс 2 умножить на 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка 5 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в квадрате плюс 2 умножить на 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 5 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 5 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате =2.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 14 плюс 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка 5 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 28 плюс 2 умножить на 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка 5 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в квадрате плюс 2 умножить на 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента в квадрате правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка 5 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 5 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате =2.$

Тогда исходное неравенство можно записать в виде

Решим его, используя метод рационализации (открыть):

$логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус \tfracx в квадрате правая круглая скобка 2 левая круглая скобка 55 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус \tfracx в квадрате правая круглая скобка 2 левая круглая скобка 4 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \overset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно система выражений левая круглая скобка 4 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 55 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус левая круглая скобка 4 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 , 55 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 , 4 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби больше 0, 4 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби не равно 1 конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус \tfracx в квадрате правая круглая скобка 2 левая круглая скобка 55 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус \tfracx в квадрате правая круглая скобка 2 левая круглая скобка 4 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \overset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно$
$\mathop равносильно система выражений левая круглая скобка 4 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 55 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус левая круглая скобка 4 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 , 55 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 , 4 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби больше 0, 4 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби не равно 1 конец системы .$

$равносильно система выражений левая круглая скобка 6 минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 102 плюс x правая круглая скобка меньше или равно 0 , x в квадрате минус x минус 110 меньше 0, x в квадрате меньше 8, x в квадрате не равно 6 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 2 корень из 2 меньше x меньше минус корень из 6 , корень из 6 меньше x меньше 2 корень из 2 . конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 2 корень из 2 ; минус корень из 6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из 6 ; 2 корень из 2 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

654700

$левая круглая скобка минус 2 корень из 2 ; минус корень из 6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из 6 ; 2 корень из 2 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 455

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы, Метод интервалов, Выделение полного квадрата

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	654700	$левая круглая скобка минус 2 корень из 2 ; минус корень из 6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из 6 ; 2 корень из 2 правая круглая скобка .$