PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 ребра основания равны 4, а боковые рёбра равны 5. Точка K — середина ребра B1C1, точка P лежит на ребре CC1 так, что 
а) Докажите, что прямые АР и РK перпендикулярны
б) Найдите угол между плоскостями АРK и САA1.
Решение. а) Произведем вычисления:
Заметим, что 
следовательно, треугольник AKP — прямоугольный, а прямые AP и PK перпендикулярны.
б) Из точки K на ребро A1C1 опустим перпендикуляр KL. Заметим, что отрезки KL и CC1 — перпендикулярны, следовательно, отрезок KL перпендикулярен плоскости CAA1. Таким образом, точка L — проекция точки K, а отрезок PL — отрезка PK на плоскость CAA1, треугольник KLP — прямоугольный. По теореме о трех перпендикулярах прямая PL перпендикулярна прямой AP. Следовательно, угол KPL — линейный угол двугранного угла между плоскостями APK и CAA1. Находим:
откуда 
следовательно, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |