РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 654698 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 455

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения и неравенства

Методы алгебры: Выделение полного квадрата

Уравнения. Тригонометрия и иррациональности

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: левая круглая скобка синус 3 x минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 9 синус в квадрате 3 x минус 24 синус 3 x плюс 16 конец аргумента = минус 4.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение, учитывая, что $минус 1 меньше или равно синус 3x меньше или равно 1$ :

$корень из: начало аргумента: левая круглая скобка синус 3 x минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 9 синус в квадрате 3 x минус 24 синус 3 x плюс 16 конец аргумента = минус 4 равносильно корень из: начало аргумента: левая круглая скобка синус 3 x минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента минус корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3 синус 3 x минус 4 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = минус 4 равносильно$
$равносильно | синус 3 x минус 2| минус |3 синус 3 x минус 4| = минус 4 равносильно 2 минус синус 3 x плюс 3 синус 3 x минус 4 = минус 4 равносильно$
$равносильно синус 3 x = минус 1 равносильно 3x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби ,k принадлежит \mathbb Z.$ $корень из: начало аргумента: левая круглая скобка синус 3 x минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 9 синус в квадрате 3 x минус 24 синус 3 x плюс 16 конец аргумента = минус 4 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: левая круглая скобка синус 3 x минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента минус корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3 синус 3 x минус 4 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = минус 4 равносильно$
$равносильно | синус 3 x минус 2| минус |3 синус 3 x минус 4| = минус 4 равносильно 2 минус синус 3 x плюс 3 синус 3 x минус 4 = минус 4 равносильно$
$равносильно синус 3 x = минус 1 равносильно 3x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби ,k принадлежит \mathbb Z.$ $корень из: начало аргумента: левая круглая скобка синус 3 x минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 9 синус в квадрате 3 x минус 24 синус 3 x плюс 16 конец аргумента = минус 4 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: левая круглая скобка синус 3 x минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента минус корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3 синус 3 x минус 4 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = минус 4 равносильно$
$равносильно | синус 3 x минус 2| минус |3 синус 3 x минус 4| = минус 4 равносильно$
$равносильно 2 минус синус 3 x плюс 3 синус 3 x минус 4 = минус 4 равносильно синус 3 x = минус 1 равносильно$
$равносильно 3x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби ,k принадлежит \mathbb Z.$

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k}3 меньше или равно Пи равносильно минус 3 меньше или равно минус 1 плюс 4k меньше или равно 6 равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: {, знаменатель: 7 конец дроби , знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений k=0, k=1. конец совокупности .$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно Пи равносильно минус 3 меньше или равно минус 1 плюс 4k меньше или равно 6 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений k=0, k=1. конец совокупности .$

Найденным значениям k соответствуют корни $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ и $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби : k принадлежит \mathbb Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

654698

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби : k принадлежит \mathbb Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 455

Методы алгебры: Выделение полного квадрата

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	654698	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби : k принадлежит \mathbb Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$