Ре­ше­ние. а)  Пусть трое уче­ни­ков, по­лу­чив­ших менее 39 бал­лов, вме­сте по­лу­чи­ли 3a бал­лов, a  — их сред­ний балл, а осталь­ные 33 уче­ни­ка вме­сте по­лу­чи­ли 33b бал­лов, где b  — их сред­ний балл. По усло­вию сред­ний балл всего клас­са

яв­ля­ет­ся целым чис­лом. Зна­чит, b − a де­лит­ся на 12.

При b  =  100 (если все осталь­ные на­пи­са­ли на 100) можно взять a  =  28 и по­лу­чить общий сред­ний балл При оче­вид­но, по­лу­чить боль­ший (или такой же) сред­ний балл нель­зя. При по­лу­ча­ем:

При этом сред­ний балл трёх уче­ни­ков, по­ка­зав­ших худ­шие ре­зуль­та­ты, равен 28: уве­ли­чить a нель­зя, сле­ду­ю­щее под­хо­дя­щее a это такой сред­ний балл у плохо сдав­ших не­воз­мо­жен.

б)  За­ме­тим, что Зна­чит,

по­это­му общий сред­ний балл не может быть мень­ше 36. Такой балл воз­мо­жен при и При по­лу­ча­ем:

а при b  =  39 и по­лу­ча­ем:

по­это­му дру­гих спо­со­бов по­лу­чить такой сред­ний балл нет. Зна­чит, a  =  3.

в)  По ито­гам вто­ро­го те­сти­ро­ва­ния сред­ний балл ока­зал­ся равен то есть уче­ни­ки вме­сте на­бра­ли бал­лов. Пусть x из них на­бра­ли менее 39 бал­лов, тогда общее число бал­лов не пре­вос­хо­дит

от­ку­да

Если x  =  2, то все кроме этих двоих вме­сте на­бра­ли от до 3420 бал­лов, а эти двое  — чет­ное число бал­лов от 0 до Среди чисел от 3344 до 3420 толь­ко 3400 и 3366 де­лят­ся на 34, по­сколь­ку сред­ний балл на­брав­ших не менее 39 дол­жен быть целым. Это дает два ва­ри­ан­та.

Либо они на­бра­ли 3400 бал­лов, а те двое 20. Тогда ответ 100.

Либо они на­бра­ли 3366 бал­лов, а те двое 54. Тогда ответ 99.

Если x  =  1, то все кроме него вме­сте на­бра­ли от до 3420 бал­лов, а он  — число бал­лов от 0 до 38. Среди чисел от 3382 до 3420 толь­ко 3395 де­лит­ся на 35, по­сколь­ку сред­ний балл на­брав­ших не менее 39 дол­жен быть целым. Это дает еще ва­ри­ант  — они на­бра­ли 3395 бал­лов, а он 25. Тогда ответ 97.

Ответ: а)  94; 28; б)  36; 3; в)  34 или 35, сред­ний балл 100, 99 (для 34), 97 (для 35).