РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 654401 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 454

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $2| синус x| плюс логарифм по основанию левая круглая скобка тангенс x правая круглая скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: | косинус x|, знаменатель: синус x конец дроби правая круглая скобка = 0.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Разберем ограничения связанные с логарифмом. Заметим, что $синус x меньше 0,$ при этом $тангенс x больше 0,$ следовательно, $косинус x меньше 0.$ Кроме того, $тангенс x \not= 1.$ При указанных ограничениях исходное уравнение эквивалентно следующим:

$минус 2 синус x плюс логарифм по основанию левая круглая скобка тангенс x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби правая круглая скобка = 0 равносильно минус 2 синус x минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \underset косинус x меньше 0 \mathop равносильно x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$ $минус 2 синус x плюс логарифм по основанию левая круглая скобка тангенс x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно минус 2 синус x минус 1 = 0 равносильно синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \underset косинус x меньше 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$ $минус 2 синус x плюс логарифм по основанию левая круглая скобка тангенс x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно минус 2 синус x минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \underset косинус x меньше 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

$минус Пи меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 1 плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно 2k меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби равносильно совокупность выражений k=0, k=1. конец совокупности .$ $минус Пи меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус 1 плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно 2k меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби равносильно совокупность выражений k=0, k=1. конец совокупности .$

Найденным значениям k соответствуют корни $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

654401

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 454

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	654401	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$