РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет, причем у любых двух мальчиков одинаковое число конфет, а у любых двух девочек  — разное. По команде каждый из детей отдает соседу справа четверть своих конфет, при этом каждый из детей отдает натуральное число конфет. После этого у любых двух девочек становится равное число конфет, а у любых двух мальчиков  — разное.

а)  Может ли число детей быть равным пяти?

б)  Какое наименьшее число детей может стоять в круге, если суммарно у них 1020 конфет?

в)  Какое наибольшее число детей может стоять в круге, если суммарно у них 1020 конфет?

Решение. а)  Пусть, например, у детей 20, 20, 56, 44, 48 конфет (мальчики  — первые двое). После команды у них станет 27, 20, 47, 47, 47 конфет и условие будет выполнено.

б)  По условию детей не менее четырех. Если у них 420, 420, 24, 156 конфет (мальчики  — первые двое), то после команды у них станет 354, 420, 123, 123 конфет и условие будет выполнено.

в)  Заметим, что если два мальчика отдают конфеты мальчикам, у тех окажется поровну, а если два мальчика отдают конфеты девочкам, у тех окажется не поровну: $дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$ от изначально разных количеств и одинаковая добавка. Значит, мальчиков ровно двое, один отдает конфеты мальчику, а второй девочке, то есть они стоят подряд.

Пусть у мальчиков по 4x конфет, а у девочек по 4a₁, 4a₂, ..., 4a_n конфет. Наша задача сделать n побольше. По условию у всех девочек после передачи конфет их стало поровну, откуда

$3 a_1 плюс x = 3 a_2 плюс a_1 = 3 a_3 плюс a_2 = \ldots = 3 a_n плюс a_n минус 1.$

Из равенства $3 a_2 плюс a_1 = 3a_3 плюс a_2$ следует $минус 3 левая круглая скобка a_3 минус a_2 правая круглая скобка = a_2 минус a_1.$ Аналогично с другими равенствами этой последовательности: разности между соседними членами уменьшаются втрое и меняют знак, начиная с $a_1 минус x = минус 3 левая круглая скобка a_2 минус a_1 правая круглая скобка .$

Если девочек 6 или больше, разность между x и a₁ должна быть кратна $3 в степени 5 = 243,$ а потому одно из чисел x и a₁ не меньше 243. Кроме того $a_2 минус a_3$ должно быть кратно 27 и одно из этих чисел не меньше 27. Но тогда

$1020 = 4 левая круглая скобка x плюс x плюс a_1 плюс \ldots плюс a_n правая круглая скобка больше 4 левая круглая скобка x плюс a_1 плюс a_2 плюс a_3 правая круглая скобка больше 4 левая круглая скобка 243 плюс 27 правая круглая скобка = 1080.$ $1020 = 4 левая круглая скобка x плюс x плюс a_1 плюс \ldots плюс a_n правая круглая скобка больше 4 левая круглая скобка x плюс a_1 плюс a_2 плюс a_3 правая круглая скобка больше 4 левая круглая скобка 243 плюс 27 правая круглая скобка =$
$= 1080.$ $1020 =$
$= 4 левая круглая скобка x плюс x плюс a_1 плюс \ldots плюс a_n правая круглая скобка больше 4 левая круглая скобка x плюс a_1 плюс a_2 плюс a_3 правая круглая скобка больше 4 левая круглая скобка 243 плюс 27 правая круглая скобка =$
$= 1080.$

Противоречие. Итак, девочек не более 5.

Примером для 7 человек может служить 328, 328, 4, 112, 76, 88, 84 (мальчики  — первые двое). После команды у них станет 267, 328, 85, 85, 85, 85, 85 конфет и условие будет выполнено.

Ответ: а)  да; б)  4; в)  7.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	654111	а)  да; б)  4; в)  7.

Ключ