РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 654107 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 453

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Метод интервалов, Перебор случаев

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решение. Раскроем модули. В первом случае при $x больше или равно 0$ получаем:

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка |x| правая круглая скобка дробь: числитель: |x плюс 3| минус |x|, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, x больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 3 минус x, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, x больше 0 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: конец дроби 2 минус x больше логарифм по основанию x x, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 минус x конец дроби минус x правая круглая скобка больше 0, x больше 0, дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 3 минус 2x плюс x в квадрате , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 0, 0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше 2.$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка |x| правая круглая скобка дробь: числитель: |x плюс 3| минус |x|, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, x больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 3 минус x, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: конец дроби 2 минус x больше логарифм по основанию x x, x больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 минус x конец дроби минус x правая круглая скобка больше 0, x больше 0, дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 3 минус 2x плюс x в квадрате , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 0, 0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше 2.$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка |x| правая круглая скобка дробь: числитель: |x плюс 3| минус |x|, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, x больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 3 минус x, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: конец дроби 2 минус x больше логарифм по основанию x x, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 минус x конец дроби минус x правая круглая скобка больше 0, x больше 0, дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 3 минус 2x плюс x в квадрате , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 0, 0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше 2.$

Второй случай: при $минус 3 меньше или равно x меньше 0$ получаем

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка |x| правая круглая скобка дробь: числитель: |x плюс 3| минус |x|, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, минус 3 меньше или равно x меньше 0 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 3 плюс x, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, минус 3 меньше или равно x меньше 0 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: 2x плюс 3 , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , минус 3 меньше или равно x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 2x плюс 3 , знаменатель: 2 минус x конец дроби плюс x правая круглая скобка больше 0, минус 3 меньше или равно x меньше 0, дробь: числитель: 2x плюс 3 , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 4x плюс 3, знаменатель: 2 минус x конец дроби меньше 0 , минус 1,5 меньше x меньше 0 конец системы . равносильно минус 1 меньше x меньше 2 минус корень из 7 .$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка |x| правая круглая скобка дробь: числитель: |x плюс 3| минус |x|, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, минус 3 меньше или равно x меньше 0 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 3 плюс x, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, минус 3 меньше или равно x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: 2x плюс 3 , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , минус 3 меньше или равно x меньше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 2x плюс 3 , знаменатель: 2 минус x конец дроби плюс x правая круглая скобка больше 0, минус 3 меньше или равно x меньше 0, дробь: числитель: 2x плюс 3 , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 4x плюс 3, знаменатель: 2 минус x конец дроби меньше 0 , минус 1,5 меньше x меньше 0 конец системы . равносильно минус 1 меньше x меньше 2 минус корень из 7 .$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка |x| правая круглая скобка дробь: числитель: |x плюс 3| минус |x|, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, минус 3 меньше или равно x меньше 0 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 3 плюс x, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, минус 3 меньше или равно x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: 2x плюс 3 , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , минус 3 меньше или равно x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 2x плюс 3 , знаменатель: 2 минус x конец дроби плюс x правая круглая скобка больше 0, минус 3 меньше или равно x меньше 0, дробь: числитель: 2x плюс 3 , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 4x плюс 3, знаменатель: 2 минус x конец дроби меньше 0 , минус 1,5 меньше x меньше 0 конец системы . равносильно минус 1 меньше x меньше 2 минус корень из 7 .$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка |x| правая круглая скобка дробь: числитель: |x плюс 3| минус |x|, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, минус 3 меньше или равно x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 3 плюс x, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, минус 3 меньше или равно x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: 2x плюс 3 , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , минус 3 меньше или равно x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 2x плюс 3 , знаменатель: 2 минус x конец дроби плюс x правая круглая скобка больше 0, минус 3 меньше или равно x меньше 0, дробь: числитель: 2x плюс 3 , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 4x плюс 3, знаменатель: 2 минус x конец дроби меньше 0 , минус 1,5 меньше x меньше 0 конец системы . равносильно минус 1 меньше x меньше 2 минус корень из 7 .$

Третий случай: при $x меньше минус 3$ получаем

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка |x| правая круглая скобка дробь: числитель: |x плюс 3| минус |x|, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, x меньше минус 3 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: минус x минус 3 плюс x, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, x меньше минус 3 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 2 конец дроби больше 1, x меньше минус 3 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 2 конец дроби больше 1, x меньше минус 3, x больше 2. конец системы .$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка |x| правая круглая скобка дробь: числитель: |x плюс 3| минус |x|, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, x меньше минус 3 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: минус x минус 3 плюс x, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, x меньше минус 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 2 конец дроби больше 1, x меньше минус 3 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 2 конец дроби больше 1, x меньше минус 3, x больше 2. конец системы .$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка |x| правая круглая скобка дробь: числитель: |x плюс 3| минус |x|, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, x меньше минус 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: минус x минус 3 плюс x, знаменатель: 2 минус x конец дроби больше 1, x меньше минус 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 2 конец дроби больше 1, x меньше минус 3 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка минус x правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 2 конец дроби больше 1, x меньше минус 3, x больше 2. конец системы .$

Полученная система не имеет решений.

Объединяя результаты трёх случаев, находим ответ: $1 меньше x меньше 2$ или $минус 1 меньше x меньше 2 минус корень из 7 .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 1; 2 минус корень из 7 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

654107

$левая круглая скобка минус 1; 2 минус корень из 7 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 453

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Метод интервалов, Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	654107	$левая круглая скобка минус 1; 2 минус корень из 7 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка .$