Ре­ше­ние. а)  Пусть точка O  — центр ос­но­ва­ния, от­ре­зок PQ  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABD, T  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с вы­со­той SO, N  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых PQ и AC. Пря­мая NT лежит в плос­ко­сти α, тогда из усло­вия сле­ду­ет, что точка ее пе­ре­се­че­ния с реб­ром SC  — это точка M. Про­ек­ци­ей бо­ко­во­го ребра SC яв­ля­ет­ся диа­го­наль ос­но­ва­ния AC, сле­до­ва­тель­но, угол SCO равен 60°. Тогда

сле­до­ва­тель­но,

Таким об­ра­зом, угол TNO равен 30°, то есть Это озна­ча­ет, что тре­уголь­ник MNC пря­мо­уголь­ный. За­ме­тим, что пря­мые MN и SC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Пря­мая PQ па­рал­лель­на пря­мой BD и, сле­до­ва­тель­но, пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC, а также, как пря­мая, ле­жа­щая в ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, пер­пен­ди­ку­ляр­на вы­со­те пи­ра­ми­ды SO. Это озна­ча­ет, что пря­мая PQ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SAC и, сле­до­ва­тель­но, пря­мой SC. Таким об­ра­зом, пря­мая SC пер­пен­ди­ку­ляр­на двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым, ле­жа­щим в плос­ко­сти α, a зна­чит, и всей плос­ко­сти α.

б)  Плос­кость α со­дер­жит пря­мую PQ, па­рал­лель­ную BD, а зна­чит, па­рал­лель­на BD. Тогда плос­кость α пе­ре­се­ка­ет плос­кость SBD по пря­мой KL, па­рал­лель­ной BD. Тре­уголь­ни­ки SKL и SBD по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия По­доб­ны также и пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки SOC и SMT. На­хо­дим:

От­сю­да по­лу­ча­ем:

Из п. а) сле­ду­ет, что от­ре­зок SM  — вы­со­та пи­ра­ми­ды SKLM, а тре­уголь­ник KLM  — ее ос­но­ва­ние. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые MT и KL вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Тогда от­ку­да на­хо­дим объем пи­ра­ми­ды SKLM:

Ответ: б)