Тип 19 № 653545 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
a) Существует ли такое кратное 11 трёхзначное число, у которого вторая цифра равна произведению двух других его цифр?
б) Существует ли такое кратное 11 трёхзначное число, у которого сумма всех цифр равна 5?
в) Найдите наименьшее кратное 11 восьмизначное число, среди цифр которого по одному разу встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 и 9. Ответ обоснуйте.
Решение. а) Да, например, число 242.
б) Нет. Возьмем число 
По условию 
а потому ни одна из цифр не превышает 5. По признаку делимости на 11 получаем, что 
где n — целое число. Из равенств 
и 
находим: 
что невозможно при натуральных значениях c, не превышающих 5.
в) Поставим в старшие разряды числа цифры 1 и 2, получим число вида 
Попробуем подобрать оставшиеся цифры и расставить их требуемым образом. Чтобы число делилось на 11, число
должно делиться на 11.Найдем наименьшее и наибольшее значения S:
Среди цифр 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 ровно три четных, поэтому при любой расстановке знаков + и − между ними получится нечетное число. Значит, 
а потому возможен лишь случай S = 11. Равенство достигается, когда
Следовательно, наименьшее возможное число равно 12 738 495.
Ответ: а) да, б) нет, в) 12 738 495.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да, б) нет, в) 12 738 495.
653545
а) да, б) нет, в) 12 738 495.
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
