РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 653092 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 451

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей

Планиметрическая задача. Окружности и системы окружностей

Дан угол величиной 120° с вершиной С. Вне угла на продолжении его биссектрисы взята точка О так, что $O C = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ С центром в точке О построена окружность радиуса 3, пересекающая стороны угла в точках А и В.

а)  Докажите, что $O C = B C = C A.$

б)  Найдите площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и дугой окружности, заключенной между ними.

Решение. а)  Заметим, что

$\angle ACO = \angle BCO = дробь: числитель: левая круглая скобка 360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Пусть AC  =  x. По теореме косинусов для треугольника ACO получим, что $9 = x в квадрате плюс 3 плюс x корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Положительный корень этого уравнения равен $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Поэтому $AC = CO = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Аналогично CB  =  CO. Что и требовалось доказать.

б)  Заметим, что треугольники ACO и BCO равнобедренные, поэтому $\angle AOB = 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Радиус окружности равен 3, поэтому площадь сектора AOB равна

$S_сект = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на Пи умножить на 3 в квадрате = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Найдем площади треугольников ACO и BCO:

$S_ACO = S_BCO = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента в квадрате умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Тогда площадь криволинейной фигуры ABC равна

$дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 2 умножить на дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 3 левая круглая скобка Пи минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: б)   $дробь: числитель: 3 левая круглая скобка Пи минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

653092

б)   $дробь: числитель: 3 левая круглая скобка Пи минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 451

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	653092	б)   $дробь: числитель: 3 левая круглая скобка Пи минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$