РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 653088 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 451

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате x конец дроби минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = минус 1.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  По следствию из основного тригонометрического тождества при $косинус x не равно 0$ имеем:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус в квадрате x конец дроби = косинус x.$

Тогда:

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате x конец дроби минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = минус 1 равносильно система выражений косинус x не равно 0, логарифм по основанию 3 левая круглая скобка косинус x минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x не равно 0, косинус x минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений косинус x не равно 0, косинус в квадрате x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . равносильно косинус x= \pm дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате x конец дроби минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = минус 1 равносильно система выражений косинус x не равно 0, логарифм по основанию 3 левая круглая скобка косинус x минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x не равно 0, косинус x минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений косинус x не равно 0, косинус в квадрате x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно косинус x= \pm дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате x конец дроби минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = минус 1 равносильно$
$равносильно система выражений косинус x не равно 0, логарифм по основанию 3 левая круглая скобка косинус x минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x не равно 0, косинус x минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений косинус x не равно 0, косинус в квадрате x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно косинус x= \pm дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис). Подходят: $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

653088

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 451

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	653088	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$