РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 652637 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 450

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Разложение на множители

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 2 синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус 2 x минус 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: косинус x конец аргумента конец дроби = 0.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  При условии $косинус x больше 0$ исходное уравнение эквивалентно уравнению:

$2 синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус 2 x минус 1 = 0 равносильно 2 синус в квадрате x плюс 2 синус x левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в кубе x минус 2 синус в квадрате x минус 2 синус x плюс 1 = 0 равносильно 2 синус в квадрате x левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности .k принадлежит Z .$ $2 синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус 2 x минус 1 = 0 равносильно 2 синус в квадрате x плюс 2 синус x левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в кубе x минус 2 синус в квадрате x минус 2 синус x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка 2 синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности .k принадлежит Z .$ $2 синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус 2 x минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x плюс 2 синус x левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в кубе x минус 2 синус в квадрате x минус 2 синус x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности .k принадлежит Z .$

Условию $косинус x больше 0$ удовлетворяют серии: $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи тригонометрической окружности. Подходят: $дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 6,$ $дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 4$ и $минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 4.$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 4,$ $дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 6,$ $дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 4.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

652637

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 4,$ $дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 6,$ $дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 4.$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 450

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	652637	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 4,$ $дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 6,$ $дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 4.$