PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 10, а боковое ребро SA равно 6. На рёбрах AB и SC отмечены точки L и N соответственно, причём 
Плоскость α содержит прямую LN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
Решение. a) Пусть плоскость
пересекает ребро SB в точке M. Поскольку прямая BC параллельна плоскости α, прямые MN и BC параллельны, а значит,
Следовательно, прямые LM и SA параллельны. Таким образом, плоскость α, содержащая прямую LM, параллельна прямой SA.
б) Пусть точка H — середина ребра BC. Тогда медианы AH и SH треугольников ABC и SBC соответственно являются их высотами, а значит, плоскость ASH перпендикулярна прямой BC.
Следовательно, плоскость ASH перпендикулярна плоскости α, параллельной прямой BC, и плоскости SBC, содержащей прямую BC. Значит, искомый угол равен углу между прямой l, по которой пересекаются плоскости и ASH, и прямой SH. Так как прямая l параллельна прямой AS, этот угол равен углу ASH или смежному с ним. В треугольнике ASH имеем: AS = 6, 
По теореме косинусов
Значит, угол ASH — тупой, тогда угол между плоскостями α и SBC равен углу смежному с углом ASH и равен 
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |