PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет два различных решения.
ИЛИ
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы один корень, если
Решение. Второе уравнение системы равносильно уравнению 
Чтобы система имела два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы два различных решения имело уравнение
Рассмотрим два случая. При 
находим:
Полученное уравнение (см. рис. 1) при 
имеет ровно один отрицательный корень, при 
не имеет отрицательных корней.
При 
находим:
не имеет корней, при 
имеет ровно один положительный корень, при 
имеет два положительных корня, при 
имеет ровно один положительный корень.Объединяя результаты рассмотренных случаев, заключаем, что исходная система имеет два различных решения при 
и 
Ответ: 
ИЛИ
Выясним возможные значения параметра. Подставим 
в равенство из условия, получаем:
Заменим 
на 
ещё раз, имеем:
Левая часть полученного уравнения не меньше 64, так как 
при всех x. Положим
тогда уравнение принимает вид 
Для отрицательных x функция f возрастает, так как при любом раскрытии модулей коэффициент при x положительный. Для неотрицательных x функция f убывает, поскольку при любом раскрытии модулей коэффициент при x отрицательный. Значит,
Уравнение 
может иметь корни, только если
Осталось проверить, что при найденных значениях параметра уравнение действительно имеет хотя бы одно решение. Ясно, что число 
является решением.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |