Тип 14 № 650566 
Стереометрическая задача. Расстояние между прямыми и плоскостями
i
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 
а высота SO пирамиды равна 8. Через точку A параллельно BD проведена плоскость α, а через точки В и D параллельная ей плоскость β так, что сечения пирамиды этими плоскостями имеют равные площади.
а) Докажите, что плоскости α и β разбивают ребро SC на три равные части.
б) Найдите расстояние между плоскостями α и β.
ИЛИ
В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро равно 9, а высота пирамиды SO равна 
точки М и Т — середины отрезков BC и SM соответственно.
а) Докажите, что АТ — высота пирамиды, проведенная к грани SBC.
б) Найдите расстояние между прямыми АT и SB.
Решение. 
а) Пусть плоскости α и β пересекают ребро SC в точках L и P, соответственно. Плоскость α пересекает ребра SB и SD соответственно в точках K и M и пересекает высоту пирамиды SO в точке N. Тогда сечение пирамиды плоскостью α — четырехугольник AKLM, а плоcкостью β — треугольник BPD.
Прямые AL и OP, являющиеся прямыми пересечения плоскости SAC с плоскостями α и β, соответственно, — параллельны. Таким образом, отрезок OP — средняя линия треугольника ACL, а потому CP = PL.
По теореме о трех перпендикулярах диагонали четырехугольника перпендикулярны, следовательно, четырехугольник состоит из двух треугольников KLM и KAM, имеющих общее основание MK и высоты LN и AN, соответственно. Аналогично отрезок PO перпендикулярен отрезку BD, а значит, является высотой треугольника BPD.
Пусть 
Q — проекция точки P на AC. Треугольники SLN и SPO подобны, поэтому 
Аналогично из подобия треугольников SMK и SBD следует, что 
Треугольники CPQ и CSO, а также ANO и OPQ — подобны. Тогда
откуда
Тогда:
По условию задачи 
что приводит к уравнению
Это означает, что 
б) Из п. а) следует, что расстояние от точки C до плоскости α в два раза больше, чем до плоскости β. Таким образом, расстояние между плоскостями α и β равно расстоянию от точки С до плоскости β, то есть высоте H пирамиды PBCD, проведенной из вершины C. Находим:
откуда 
Следовательно, расстояние между плоскостями α и β равно 
Ответ: б) 
ИЛИ
а) Прямая AT лежит в плоскости SAM. Обозначим K проекцию точки T на прямую AM. Заметим, что плоскость SAM содержит также высоту пирамиды SO, прямые SO и BC перпендикулярны. Кроме того, прямые AM и BC перпендикулярны, следовательно, плоскость SAM перпендикулярна прямой BC. Таким образом, прямые AT и BC перпендикулярны. Находим:
Треугольники SOM и TKM подобны. Следовательно,
Заметим, что
Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник TSA — прямоугольный. Следовательно, прямые AT и SM перпендикулярны. Значит, прямая AT перпендикулярна плоскости SBC и является высотой пирамиды.
б) Из точки T на прямую SB опустим перпендикуляр TH. Заметим, что TH перпендикулярен прямой AT, поскольку лежит в плоскости SBC. Таким образом, TH — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AT и SB. Треугольники STH и SBM подобны, поэтому 
а так как 
то
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
PDF-версии: 
