РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 650565 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 448

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 2024 правая круглая скобка левая круглая скобка синус 3 x синус в кубе x плюс косинус 3 x косинус в кубе x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2024 8.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка 23 Пи ; 25 Пи правая квадратная скобка .$

ИЛИ

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 3 синус x минус 4, знаменатель: синус x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: синус в квадрате x минус синус x конец дроби = 1.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2024 правая круглая скобка левая круглая скобка синус 3 x синус в кубе x плюс косинус 3 x косинус в кубе x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2024 8 равносильно$
$равносильно синус 3 x синус в кубе x плюс косинус 3 x косинус в кубе x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 4x правая круглая скобка синус в квадрате x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x плюс косинус 4x правая круглая скобка косинус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус 2x левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс косинус 4x левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус 2x плюс левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус 1 правая круглая скобка косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно косинус в кубе 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2024 правая круглая скобка левая круглая скобка синус 3 x синус в кубе x плюс косинус 3 x косинус в кубе x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2024 8 равносильно$
$равносильно синус 3 x синус в кубе x плюс косинус 3 x косинус в кубе x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 4x правая круглая скобка синус в квадрате x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x плюс косинус 4x правая круглая скобка косинус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус 2x левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс косинус 4x левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус 2x плюс левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус 1 правая круглая скобка косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус в кубе 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2024 правая круглая скобка левая круглая скобка синус 3 x синус в кубе x плюс косинус 3 x косинус в кубе x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2024 8 равносильно$
$равносильно синус 3 x синус в кубе x плюс косинус 3 x косинус в кубе x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 4x правая круглая скобка синус в квадрате x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x плюс косинус 4x правая круглая скобка косинус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус 2x левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс косинус 4x левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус 2x плюс левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус 1 правая круглая скобка косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус в кубе 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно$
$равносильно x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2024 правая круглая скобка левая круглая скобка синус 3 x синус в кубе x плюс косинус 3 x косинус в кубе x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2024 8 равносильно$
$равносильно синус 3 x синус в кубе x плюс косинус 3 x косинус в кубе x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 4x правая круглая скобка синус в квадрате x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x плюс косинус 4x правая круглая скобка косинус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус 2x левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс косинус 4x левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус 2x плюс левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус 1 правая круглая скобка косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус в кубе 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно$
$равносильно x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2024 правая круглая скобка левая круглая скобка синус 3 x синус в кубе x плюс косинус 3 x косинус в кубе x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2024 8 равносильно$
$равносильно синус 3 x синус в кубе x плюс косинус 3 x косинус в кубе x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 4x правая круглая скобка синус в квадрате x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x плюс косинус 4x правая круглая скобка косинус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус 2x левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс косинус 4x левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус 2x плюс левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус 1 правая круглая скобка косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус в кубе 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно$
$равносильно x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Подходят: $дробь: числитель: 139 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 143 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 145 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 149 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 139 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 143 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 145 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 149 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

ИЛИ

а)  Заметим, что $синус x \not = 0$ и $синус x \not = 1.$ При этих условиях

$дробь: числитель: 3 синус x минус 4, знаменатель: синус x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: синус в квадрате x минус синус x конец дроби = 1 равносильно$
$равносильно 3 синус в квадрате x минус 4 синус x плюс 1= синус в квадрате x минус синус x} равносильно 2 синус в квадрате x минус 3 синус x плюс 1=0 равносильно синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис). На заданном отрезке лежит число $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 448

Ключ