РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Трёхзначное число А имеет k натуральных делителей (в том числе 1 и А).

а)  Может ли k быть равно 7?

б)  Может ли k быть равно 25?

в)  Найдите наибольшее значение k.

Решение. Как известно, количество делителей числа, разложенного на простые множители $p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка p_2 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка \ldots p_n в степени левая круглая скобка k_n правая круглая скобка$ равно $левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка k_n плюс 1 правая круглая скобка .$

а)  Да. Можно взять число $3 в степени 6 = 729,$ оно имеет $6 плюс 1 = 7$ делителей.

б)  Очевидно, что если

$левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка k_n плюс 1 правая круглая скобка = 25,$

то либо n  =  1 и k₁  =  24, либо n  =  2 и $k_1 = k_2 = 4.$ Минимальными числами с такими разложениями будут 2²⁴ и $2 в степени 4 умножить на 3 в степени 4 ,$ но оба этих числа больше 1000.

в)  Разрешим даже числу быть одно- или двузначным. Рассмотрим разложение числа на простые множители. Если в нем нет множителя 2, заменим один из простых множителей на 2  — число уменьшится, а количество делителей не изменится. Поэтому можно считать, что один его простых множителей это 2. Если у числа есть еще простые множители, то точно так же можно считать один из них тройкой и так далее. Итак, в разложение входят только первые простые числа, причем не более четырех, поскольку

$2 умножить на 3 умножить на 5 умножить на 7 умножить на 11 больше 1000.$

Кроме того можно считать, что показатель степени самый большой у двойки, следующий у тройки и так далее (иначе поменяем показатели местами, уменьшив число). Теперь разберем случаи.

1.  Если сомножителей четыре, то число кратно 210. Имеет смысл рассматривать только $2 в кубе умножить на 3 умножить на 5 умножить на 7 = 840,$ оно имеет 32 делителя.

2.  Если сомножителей три, то число кратно 30. Если при этом число кратно 5², то кратно и 3², и 2², поэтому кратно $900 = 2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате .$ Значит, оно равно 900 и имеет 27 делителей. Если же число кратно пяти лишь в первой степени, рассмотрим показатель тройки в его разложении.

Для чисел вида $2 в степени k умножить на 5$ можно взять k  =  7 и получить 16 делителей.

Для чисел вида $2 в степени k умножить на 3 умножить на 5$ можно взять k  =  6 и получить 28 делителей.

Для чисел вида $2 в степени k умножить на 3 в квадрате умножить на 5$ можно взять k  =  4 и получить 30 делителей.

Для чисел вида $2 в степени k умножить на 3 в кубе умножить на 5$ нельзя взять даже k  =  3, число получится четырехзначным.

3.  Если сомножителей в разложении два, то делители числа имеют вид $2 в степени a умножить на 3 в степени b .$ Все делители разбиваются на пары, дающие в произведении исходное число, причем в каждой паре есть число, не превосходящее 31, поскольку $32 в квадрате больше 1000.$ Среди чисел от 1 до 31 нужные разложения на множители имеют только 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, что дает не более 12 пар делителей и не более чем 24 делителя.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  32.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	650564	а)  да; б)  нет; в)  32.

Ключ