Тип Д10 C2 № 650553 
Сложная стереометрия. Многогранники
i
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 
а высота SO пирамиды равна 8. Через точку A параллельно BD проведена плоскость α, а через точки В и D параллельная ей плоскость β так, что сечения пирамиды этими плоскостями имеют равные площади.
а) Докажите, что плоскости α и β разбивают ребро SC на три равные части.
б) Найдите расстояние между плоскостями α и β.
Решение. 
а) Пусть плоскости α и β пересекают ребро SC в точках L и P, соответственно. Плоскость α пересекает ребра SB и SD соответственно в точках K и M и пересекает высоту пирамиды SO в точке N. Тогда сечение пирамиды плоскостью α — четырехугольник AKLM, а плоcкостью β — треугольник BPD.
Прямые AL и OP, являющиеся прямыми пересечения плоскости SAC с плоскостями α и β, соответственно, — параллельны. Таким образом, отрезок OP — средняя линия треугольника ACL, а потому CP = PL.
По теореме о трех перпендикулярах диагонали четырехугольника перпендикулярны, следовательно, четырехугольник состоит из двух треугольников KLM и KAM, имеющих общее основание MK и высоты LN и AN, соответственно. Аналогично отрезок PO перпендикулярен отрезку BD, а значит, является высотой треугольника BPD.
Пусть 
Q — проекция точки P на AC. Треугольники SLN и SPO подобны, поэтому 
Аналогично из подобия треугольников SMK и SBD следует, что 
Треугольники CPQ и CSO, а также ANO и OPQ — подобны. Тогда
откуда
Тогда:
По условию задачи 
что приводит к уравнению
Это означает, что 
б) Из п. а) следует, что расстояние от точки C до плоскости α в два раза больше, чем до плоскости β. Таким образом, расстояние между плоскостями α и β равно расстоянию от точки С до плоскости β, то есть высоте H пирамиды PBCD, проведенной из вершины C. Находим:
откуда 
Следовательно, расстояние между плоскостями α и β равно 
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б)
650553
б)
PDF-версии: 
