Решите неравенство: $9 x в квадрате минус 3 x плюс левая круглая скобка x в квадрате плюс 4 x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x больше или равно 12 плюс x в кубе умножить на логарифм по основанию 3 x в кубе .$

Решение. Перенесем выражения из правой части в левую и разложим на множители:

$9 x в квадрате минус 3 x плюс левая круглая скобка x в квадрате плюс 4 x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x больше или равно 12 плюс x в кубе умножить на логарифм по основанию 3 x в кубе равносильно$
$равносильно 9 x в квадрате минус 3 x минус 12 плюс левая круглая скобка x в квадрате плюс 4 x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x минус 3x в кубе умножить на логарифм по основанию 3 x больше или равно 0 равносильно$
$равносильно 3 левая круглая скобка 3x в квадрате минус x минус 4 правая круглая скобка минус x левая круглая скобка 3x в квадрате минус x минус 4 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3x в квадрате минус x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус x логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка больше или равно 0 .$

Решим полученное неравенство методом интервалов.

Неравенство определено при $x больше 0.$ Левая часть обращается в нуль, если

$3x в квадрате минус x минус 4=0 равносильно совокупность выражений x= минус 1, x= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . \underset x больше 0 \mathop равносильно x= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$ $3x в квадрате минус x минус 4=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= минус 1, x= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . \underset x больше 0 \mathop равносильно x= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$

или если

$3 минус x логарифм по основанию 3 x=0 \underset x больше 0 \mathop равносильно дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби = логарифм по основанию 3 x.$

Корень последнего уравнения найдем подбором, получим $x=3.$ Покажем, что других корней нет: действительно, в левой части уравнения стоит убывающая на ОДЗ функция, в правой — возрастающая, значит, уравнение имеет не более одного корня.

Отметим ОДЗ и корни на оси и проверим знаки в каждом из трёх получившихся интервалов. При $x=1$ получаем:

$левая круглая скобка 3 умножить на 1 в квадрате минус 1 минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус 1 умножить на логарифм по основанию 3 1 правая круглая скобка больше или равно 0$ — неверно.

При $x=2$ получаем:

$левая круглая скобка 3 умножить на 2 в квадрате минус 2 минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус 2 умножить на логарифм по основанию 3 2 правая круглая скобка больше или равно 0$ — верно.

При $x=9$ получаем:

$левая круглая скобка 3 умножить на 9 в квадрате минус 9 минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус 9 умножить на логарифм по основанию 3 9 правая круглая скобка больше или равно 0$ — неверно.

Таким образом, неравенство верно при $дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно 3.$

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; 3 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; 3 правая квадратная скобка .$

649747

$левая квадратная скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; 3 правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 446

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Метод интервалов, Разложение на множители