РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 647167 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 440

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах

Источник/автор: Артур Анищенко

Финансовая математика. Кредиты

15 января Пётр берёт кредит в банке на 6 месяцев в размере 600 тысяч рублей. Его условия таковы:

—  1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 50% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—  15-⁠го числа каждого месяца с февраля по июнь долг должен быть на t тысяч рублей меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца, где $0 меньше или равно t меньше или равно 40;$

—  15 июля кредит должен быть полностью погашен.

Какую наибольшую и наименьшую сумму может выплатить Пётр за всё время погашения кредита?

Решение. Пусть 15 февраля долг будет меньше долга на 15 января на t₁ тыс. руб., 15 марта  — меньше долга на 15 февраля на t₂ тыс. руб. и т. д. Заполним таблицу.

Месяц	Долг на 1-е число месяца, тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг на 15-е число месяца, тыс. руб.
Январь			600
Февраль	$1,5 умножить на 600$	$300 плюс t_1$	$600 минус t_1$
Март	$1,5 умножить на левая круглая скобка 600 минус t_1 правая круглая скобка$	$300 минус 0,5t_1 плюс t_2$	$600 минус t_1 минус t_2$
Апрель	$1,5 умножить на левая круглая скобка 600 минус t_1 минус t_2 правая круглая скобка$	$300 минус 0,5t_1 минус 0,5t_2 плюс t_3$	$600 минус t_1 минус t_2 минус t_3$
Май	$1,5 умножить на левая круглая скобка 600 минус t_1 минус t_2 минус t_3 правая круглая скобка$	$300 минус 0,5t_1 минус 0,5t_2 минус 0,5t_3 плюс t_4$	$600 минус t_1 минус t_2 минус t_3 минус t_4$
Июнь	$1,5 умножить на левая круглая скобка 600 минус t_1 минус t_2 минус t_3 минус t_4 правая круглая скобка$	$300 минус 0,5t_1 минус 0,5t_2 минус 0,5t_3 минус 0,5t_4 плюс t_5$	$600 минус t_1 минус t_2 минус t_3 минус t_4 минус t_5$
Июль	$1,5 умножить на левая круглая скобка 600 минус t_1 минус t_2 минус t_3 минус t_4 минус t_5 правая круглая скобка$	$900 минус 1,5t_1 минус 1,5t_2 минус 1,5t_3 минус 1,5t_4 минус 1,5t_5$	0

Суммируем все выплаты:

$300 плюс t_1 плюс 300 минус 0,5t_1 плюс t_2 плюс 300 минус 0,5t_1 минус 0,5t_2 плюс t_3 плюс 300 минус 0,5t_1 минус$
$минус 0,5t_2 минус 0,5t_3 плюс t_4 плюс 300 минус 0,5t_1 минус 0,5t_2 минус 0,5t_3 минус 0,5t_4 плюс t_5 плюс 900 минус 1,5t_1 минус$
$минус 1,5t_2 минус 1,5t_3 минус 1,5t_4 минус 1,5t_5=2400 минус 2,5t_1 минус 2t_2 минус 1,5t_3 минус t_4 минус 0,5t_5.$ $300 плюс t_1 плюс 300 минус 0,5t_1 плюс t_2 плюс 300 минус 0,5t_1 минус 0,5t_2 плюс$
$плюс t_3 плюс 300 минус 0,5t_1 минус 0,5t_2 минус 0,5t_3 плюс t_4 плюс 300 минус 0,5t_1 минус$
$минус 0,5t_2 минус 0,5t_3 минус 0,5t_4 плюс t_5 плюс 900 минус 1,5t_1 минус 1,5t_2 минус 1,5t_3 минус$
$минус 1,5t_4 минус 1,5t_5=2400 минус 2,5t_1 минус 2t_2 минус 1,5t_3 минус t_4 минус 0,5t_5.$ $300 плюс t_1 плюс 300 минус 0,5t_1 плюс t_2 плюс 300 минус 0,5t_1 минус$
$минус 0,5t_2 плюс t_3 плюс 300 минус 0,5t_1 минус 0,5t_2 минус 0,5t_3 плюс$
$плюс t_4 плюс 300 минус 0,5t_1 минус 0,5t_2 минус 0,5t_3 минус 0,5t_4 плюс$
$плюс t_5 плюс 900 минус 1,5t_1 минус 1,5t_2 минус 1,5t_3 минус 1,5t_4 минус$
$минус 1,5t_5=2400 минус 2,5t_1 минус 2t_2 минус 1,5t_3 минус t_4 минус 0,5t_5.$ $300 плюс t_1 плюс 300 минус 0,5t_1 плюс t_2 плюс 300 минус$
$минус 0,5t_1 минус 0,5t_2 плюс t_3 плюс 300 минус 0,5t_1 минус 0,5t_2 минус$
$минус 0,5t_3 плюс t_4 плюс 300 минус 0,5t_1 минус 0,5t_2 минус$
$минус 0,5t_3 минус 0,5t_4 плюс t_5 плюс 900 минус 1,5t_1 минус$
$минус 1,5t_2 минус 1,5t_3 минус 1,5t_4 минус 1,5t_5=2400 минус$
$минус 2,5t_1 минус 2t_2 минус 1,5t_3 минус t_4 минус 0,5t_5.$

При $t_1=t_2=t_3=t_4=t_5=0$ полученная сумма максимальна, она равна 2400 тыс. руб. При $t_1=t_2=t_3=t_4=t_5=40$ сумма минимальна, она равна $2400 минус 7,5 умножить на 40=2100$ тыс. руб.

Ответ: 2,4 млн руб. и 2,1 млн руб.

Приведём другое решение.

Различие в сумме выплат будет обусловлено начисляемыми процентами. Поэтому наибольшую сумму Пётр выплатит, если в первые пять месяцев он будет выплачивать только проценты за пользование кредитом, то есть если $t=0,$ а наименьшую  — в случае ежемесячного максимального уменьшения долга, то есть если $t=40.$

Приведем схему выплаты кредита для $t=0.$

Месяц	Долг на 1-е число месяца, тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг на 15-е число месяца, тыс. руб.
Январь			600
Февраль	900	300	600
Март	900	300	600
Апрель	900	300	600
Май	900	300	600
Июнь	900	300	600
Июль	900	900	0

Сумма выплат в этом случае составит $300 умножить на 5 плюс 900=2400$ тыс. руб.

Приведем схему выплаты кредита для $t=40.$

Месяц	Долг на 1-⁠е число месяца, тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг на 15-⁠е число месяца, тыс. руб.
Январь			600
Февраль	900	340	560
Март	840	320	520
Апрель	780	300	480
Май	720	280	440
Июнь	660	260	400
Июль	600	600	0

В этом случае сумма выплат равна

$340 плюс 320 плюс 300 плюс 280 плюс 260 плюс 600=2100$ тыс. руб.

Ответ: 2,4 млн руб. и 2,1 млн руб.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: 2,4 млн руб. и 2,1 млн руб. 2,4 млн руб. и 2,1 млн руб.

647167

2,4 млн руб. и 2,1 млн руб.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 440

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	647167	2,4 млн руб. и 2,1 млн руб.