РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 647166 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 440

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Источник/автор: Артур Анищенко

Неравенства. Неравенства с тригонометрией

Решите неравенство:

$левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 плюс косинус Пи x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка в квадрате минус логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x в степени 7 правая круглая скобка плюс 12 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 60 правая круглая скобка левая круглая скобка 260 минус x правая круглая скобка конец аргумента меньше или равно 0.$

Решение. Заметим, что

$минус 1 меньше или равно косинус Пи x меньше или равно 1 равносильно 1 меньше или равно 2 плюс косинус Пи x меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно 0 меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 плюс косинус Пи x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно 0 меньше или равно 1 минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 плюс косинус Пи x правая круглая скобка меньше или равно 1,$ $минус 1 меньше или равно косинус Пи x меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно 1 меньше или равно 2 плюс косинус Пи x меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно 0 меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 плюс косинус Пи x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно 0 меньше или равно 1 минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 плюс косинус Пи x правая круглая скобка меньше или равно 1,$

причём равенство нулю достигается только при $x=2k, k принадлежит Z .$ Значит, первый и последний множитель в левой части исходного неравенства не могут быть отрицательными. Тогда исходное неравенство равносильно системе

$система выражений совокупность выражений x=2k, k принадлежит Z , логарифм по основанию 4 в квадрате x минус 7 логарифм по основанию 4 x плюс 12 меньше или равно 0, конец системы . 60 меньше или равно x меньше или равно 260. конец совокупности . левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Решим отдельно логарифмическое неравенство

$логарифм по основанию 4 в квадрате x минус 7 логарифм по основанию 4 x плюс 12 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 3 меньше или равно логарифм по основанию 4 x меньше или равно 4 равносильно 4 в кубе меньше или равно x меньше или равно 4 в степени 4 равносильно 64 меньше или равно x меньше или равно 256.$ $логарифм по основанию 4 в квадрате x минус 7 логарифм по основанию 4 x плюс 12 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно 3 меньше или равно логарифм по основанию 4 x меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно 4 в кубе меньше или равно x меньше или равно 4 в степени 4 равносильно 64 меньше или равно x меньше или равно 256.$ $логарифм по основанию 4 в квадрате x минус 7 логарифм по основанию 4 x плюс 12 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 3 меньше или равно логарифм по основанию 4 x меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно 4 в кубе меньше или равно x меньше или равно 4 в степени 4 равносильно 64 меньше или равно x меньше или равно 256.$ $логарифм по основанию 4 в квадрате x минус 7 логарифм по основанию 4 x плюс 12 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 3 меньше или равно логарифм по основанию 4 x меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно 4 в кубе меньше или равно x меньше или равно 4 в степени 4 равносильно$
$равносильно 64 меньше или равно x меньше или равно 256.$

Тогда система (⁎) равносильна системе

$система выражений совокупность выражений x=2k, k принадлежит Z , 64 меньше или равно x меньше или равно 256, конец системы . 60 меньше или равно x меньше или равно 260 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=60, x=62, 64 меньше или равно x меньше или равно 256, x=258, x=260. конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка 60, 62, 258, 260 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 64; 256 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

647166

$левая фигурная скобка 60, 62, 258, 260 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 64; 256 правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 440

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	647166	$левая фигурная скобка 60, 62, 258, 260 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 64; 256 правая квадратная скобка .$