Ре­ше­ние. а)  Пусть вы­со­та ци­лин­дра равна H, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния R. Тогда его объем сле­до­ва­тель­но, За­ме­тим, что, так как точка C рав­но­уда­ле­на от ос­но­ва­ний ци­лин­дра, то вы­со­та тет­ра­эд­ра O₁ABC равна При этом пло­щадь ос­но­ва­ния

сле­до­ва­тель­но,

б)  Рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми равно рас­сто­я­нию от одной из них до плос­ко­сти про­хо­дя­щей па­рал­лель­но ей через вто­рую пря­мую. Пусть точки A₂ и B₂ лежат на окруж­но­сти верх­не­го ос­но­ва­ния так что AA₂ и BB₂  — об­ра­зу­ю­щие ци­лин­дра. Тогда пря­мые AO₁ и A₂O₂  — па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно рас­сто­я­нию от пря­мой AO₁ до плос­ко­сти CA₂O₂. На­при­мер, H_O1  — длине вы­со­ты пи­ра­ми­ды O₁CA₂O₂ опу­щен­ной из вер­ши­ны O₁ на плос­кость CA₂O₂. Из тре­уголь­ни­ка AO₁B и пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ABC, BCO₁ и AСO₂ на­хо­дим:

С дру­гой сто­ро­ны, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AO₁O₂ по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом,

сле­до­ва­тель­но, учи­ты­вая п. а) то есть R = 1,

Вы­чис­лим объем пи­ра­ми­ды O₁CA₂O₂, счи­тая тре­уголь­ник O₁O₂A₂ ос­но­ва­ни­ем. Пря­мые BB₁ и O₁O₂ па­рал­лель­ны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны ос­но­ва­нию, вы­со­та h_C, опу­щен­ная из вер­ши­ны С, равна вы­со­те тре­уголь­ни­ка AO₁B₁, опу­щен­ной из вер­ши­ны B. Таким об­ра­зом,

Под­став­ляя зна­че­ния R и H, по­лу­ча­ем При по­мо­щи фор­му­лы Ге­ро­на вы­чис­лим пло­щадь тре­уголь­ни­ка CA₂O₂: Тогда

Ответ: б)