PDF-версии: 
В тетраэдре ABCD противоположные ребра попарно равны. Точки M, N и K — середины боковых ребер BD, AC и DC соответственно. Через точку К проведена секущая
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна секущей плоскости.
б) Найдите расстояние от точки М до плоскости α, если 
и 
Решение. а) Пусть точки L, P и Q — точки пересечения плоскости α с ребрами AD, AB и BC, соответственно. Таким образом, сечением тетраэдра плоскостью α является четырехугольник KLPQ. Стороны KL, AC и PQ параллельны между собой. Аналогично и стороны KQ, BD и LP параллельны. Кроме того,
следовательно, четырехугольник KLPQ — ромб. Треугольники ABD и CBD равны по трем сторонам, следовательно, медианы
Таким образом, треугольник MAC равнобедренный, а его медиана MN перпендикулярна основанию AC. Аналогично прямая MN перпендикулярна ребру BD. Тогда прямая MN перпендикулярна прямым
б) Рассмотрим четырехугольные пирамиды MKLPQ и NKLPQ, имеющие общее основание KLPQ и высоты лежащие на прямой MN, что следует из пункта а). Заметим, что боковые ребра этих пирамид попарно равны: MK = MP = NP = NK, ML = MQ = NQ = NL, следовательно, равны боковые грани этих пирамид: MKQ = MLP = NLP = NKQ, MKL = MPQ = NPQ = NKL. Тогда равны сами пирамиды, а потому и их высоты. Таким образом, расстояние от точки M до плоскости α равно половине длины MN.
Напишем теорему косинусов для треугольника ABC:
Найдем медиану BN из треугольника ABN.
Таким образом, искомое расстояние есть 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |